Mat01097- Seminário Integrador I - UFRGS

Prof. João Batista Carvalho

Exercício: otimização e aplicação a economia

Na disciplina de Cálculo, você certamente já estudou como encontrar e classificar máximos e mínimos de uma função $f(x)$ em um intervalo $I$, finito ou infinito. Ressaltaremos aqui aplicação à Análise Marginal, muito importante em economia.

A Análise Marginal, em economia, tem por objetivo encontrar níveis de produção ótimos de uma manufatura, que são aqueles que maximizam o retorno (lucro) da atividade produtiva, a fim de garantir que ela seja viável. Aqui $x$ será chamado de nível de produção. Muitas vezes, e por simplicidade, $x$ estará associado ao número de unidades manufaturadas de um produto em um determinado período de tempo fixado. Associados a $x$, consideramos

• $C(x)$ : custo total de produção de $x$ unidades;
• $R(x)$: receita total da venda dessas $x$ unidades;
• $L(x)$: lucro total obtido com a venda das $x$ unidades;

todas elas correspondentemente ao período de tempo estabelecido. Se todas as $x$ unidades forem vendidas, então

$$L(x) = R(x) - C(x)$$

e procuramos por máximos absolutos de $L(x)$ em algum intervalo que determine, e possivelmente restrinja, os níveis de produção $x$ possíveis. Apesar de $x$ normalmente ser uma variável que assume valores inteiros, temos dois caminhos possíveis para resolver o problema de otimização associado:

1. consideramos $x$ como real na formulação e arredondamos ao inteiro mais próximo, se necessário, ao final do procedimento matemático desenvolvido na disciplina de Cálculo, que essencialmente procura entre os $x$ tais que $L'(x)=0$, entre outros possíveis;
2. aplicamos a chamada Análise Marginal, que define as quantidades (derivadas) $R'(x)$ e $C'(x)$ como receita marginal e custo marginal, respectivamente. Essas quantidades são interpretadas como receita e custo que resultam da alteração do nivel de produção de $x$ para $x+1$. Níveis de produção ótimos $x^{*}$ são tais que $R'(x) \geq C'(x)$ para $x \leq x^{*}$ e $R'(x) < C'(x)$ para $x > x^{*}$;

Analisaremos a solução do seguinte problema, usando tanto a estratégia 1 quanto a estratégia 2.

Um atelier produz réplicas de quadros semi-famosos para um mercado de colecionadores. Os direitos autorais sobre determinada pintura custaram $10000$ unidades monetárias, ao passo que o custo para produção de cada réplica é de apenas $330$ unidades monetárias. Já para o preço unitário de venda $p$, quando maior o número $x$ de réplicas, muito menor é o valor pago pelos colecionadores. Estima-se que o preço unitário de venda para cada obra seja $p=3000-50 x$. Encontre o número ótimo de replicas, o respectivo preço unitário e o lucro máximo.

Solução:

Temos $R(x) = x \cdot p = x (3000-50x)$ , e $C(x) = 10000 + 330x$, o que implica

$$L(x) = x(3000 - 50x) - 330x-10000 = 2670x - 50x^2 - 10000$$

por causa da restrição do preço, claramente não vale a pena produzir mais do que $60$ réplicas, e portanto procuramos maximizar a função $L$ acima no intervalo $[0,60]$.

Estratégia 1:

$$L'(x) = 2670 - 100x$$

e então temos um único ponto crítico $x^{*}$ que verifica $2670-100x^{*} = 0 \Leftrightarrow x^{*} = 26.7$, que arredondamos para $x^{*} = 27$. Esse ponto crítico é um máximo local pelo Teste da Derivada Primeira (a função derivada troca de sinal, passando de positiva para negativa).

Para encontrar máximo absoluto em $[0,30]$: procuramos na tabela

$x$	$L(x)$
0	-10000
60	-330(60)-10000
27	25640

e temos $x^{*} = 27$ corresponde a $p=1650$, $L = 25640$.

Estratégia 2: Receita e custos marginais são, respectivamente:

$$R'(x) = 3000-100x , C'(x) = 330$$

e assim analisamos a tabela

$x$	$R'(x)$	$C'(x)$	$x$	$R'(x)$	$C'(x)$
1	2900.	330.	16	1400.	330.
2	2800.	330.	17	1300.	330.
3	2700.	330.	18	1200.	330.
4	2600.	330.	19	1100.	330.
5	2500.	330.	20	1000.	330.
6	2400.	330.	21	900.	330.
7	2300.	330.	22	800.	330.
8	2200.	330.	23	700.	330.
9	2100.	330.	24	600.	330.
10	2000.	330.	25	500.	330.
11	1900.	330.	26	400.	330.
12	1800.	330.	27	300.	330.
13	1700.	330.	28	200.	330.
14	1600.	330.	29	100.	330.
15	1500.	330.	30	0.	330.

e temos a solução $x^{*} = 26$, que corresponde a $p=1700$ e $L=25620$ unidades monetárias.