Instituto de Matemática - UFRGS - Mat01097 - Seminário Integrador I

Exercício: modelagem usando funções exponenciais

As funções exponenciais possuem propriedades necessárias na descrição de muitos fenômemos fisicos, sobretudo naqueles onde existe crescimento ou decrescimento. De uma maneira geral, funções exponenciais tem a forma

$$f(x) = a^x , \mbox{ onde } a > 0 , x \in {\mathbb{R}}$$ .

O parâmetro $a$ é chamado de base da exponencial, e pode ser qualquer número real positivo. Funções exponenciais são sempre positivas, e sempre verificam $f(0) = 1$, pois qualquer potência zero de número real tem valor $1$. Outra conhecida propriedade, que caracteriza as exponenciais, implica $f(x+y) = f(x)f(y) \ \forall x,y \in {\mathbb{R}}$, que por sua vez implica $$f(-x) = \frac{1}{f(x)} \ , \ \forall x \in {\mathbb{R}}$$.

Nas aplicações de matemática, entretanto, frequentemente consideramos as exponenciais usando a base de Euler $e$, que pode ser definida por:

$$e = \lim_{n \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$$

como aplicação da noção de limite no infinito da função real $$w(x) = \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x$$. Nesse ponto, convidamos você a verificar, usando recurso computacional, sobre o valor desse limite no infinito. Também convidamos você a verificar esse resultado usando as ferramentas matemáticas apresentadas na seção §4.4 de seu livro de Cálculo (para limite de formas indeterminadas do tipo $1^{\infty}$).

Bastante comum é a notação $f(x) = e^{x} = \exp(x)$, que a partir de agora usaremos, dessa forma referindo-nos à exponencial de Euler.

Modelo Exponencial de Crescimento: $$y = f(t) = A \exp( B t)$$ onde $A$ e $B$ são positivos. Possui as seguintes propriedades para $t \geq 0$: $f(0) = A$ e $$f'(t) = B f(t) \ \ \forall t$$.

PEDE-SE: encontre valores para $A$ e $B$ tais que $y = A \exp(Bt)$ corresponda à descrição gráfica:

Solução: Primeiramente, $$f(0)=1 \Rightarrow A = 1$$. Por outro lado,

$$1 \exp(B \cdot 1) = 2 \Rightarrow B = \ln(2)$$

e assim temos $f(t) = \exp( t \ln(2) )$.

Modelo Exponencial de Decrescimento: $$y = f(t) = A \exp( -B t) + C$$ onde $A$ e $B$ são positivos. Possui as seguintes propriedades para $t \geq 0$: $f(0) = A+C$ , $$f'(t) = -B (f(t)-C) \ \ \forall t$$ e ainda $$\lim_{t \rightarrow \infty} f(t) = C$$.

$$\Rightarrow$$ Lei de Resfriamento de Newton: $T'(t) = -\beta (T-C)$ satisfeita pela temperatura

$$T(t) = (T(0)-C) \exp(-\beta t) + C$$.

PEDE-SE: encontre valores para $A$, $B$ e $C$ tais que $y = A \exp(-Bt) + C$ corresponda à descrição gráfica:

Solução: Primeiramente, observamos que o limite no infinito é $2$ e portanto $C = 2$. Por outro lado, $$6 = f(0) = A + C \Rightarrow A = 4$$, e ainda

$$4 \exp(-B \cdot 1) + 2 = 3 \Rightarrow B = \ln(4)$$

e assim temos $f(t) = 4 \exp( -t \ln(4) ) + 2$.

Modelo Logístico de crescimento: $$g(t) = \frac{ A }{ C + \exp(-Bt)}$$, onde $A$ , $B$ e $C$ são positivos. Possui as seguintes propriedades para $t \geq 0$: $$g(0) = \frac{A}{C+1}$$ , $$\lim_{t \rightarrow \infty} g(t) = \frac{A}{C}$$.

PEDE-SE: encontre valores para $A$, $B$ e $C$ tais que $$g(t) = \frac{ A }{ C + \exp(-Bt)}$$ corresponda à descrição gráfica:

Solução: Primeiramente, observamos que o limite no infinito é $6$ e que o valor na origem é $1$, portanto

$$\left\{ \begin{array}{l} \frac{A}{C+1} = 1 \\ \frac{A}{C}=6 \end{... ...rac{A}{C}=\frac{C+1}{C}=1 + \frac{1}{C} = 6 \Rightarrow C = 0.2 , A = 6C = 1.2$$

e então

$$g(1) = 3 \Rightarrow \frac{1.2}{0.2+e^{-B}} = 3 \Rightarrow e^{-B} = \frac{1}{5} \Leftrightarrow B = \ln(5)$$.

e assim temos $$g(t) = \frac{1.2}{0.2 + \exp(-t \ln(5))}$$.

Recursos Disponíveis:

• Slides sobre crescimento exponencial em Ecologia aqui;
• Slides sobre crescimento logístico em Ecologia aqui;
• Sobre transferência de Calor e Lei do Resfriamento de Newton aqui;