U.F.R.G.S. INSTITUTO DE MATEMÁTICA DMPA

MAT 01025 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 01/outubro/2003 2003/2

LISTA DE PROBLEMAS (Modelagem) LISTA 1

1. Uma determinada empresa fabrica mobília doméstica com ou sem acabamento. Estima-se que a demanda semanal de suas escrivaninhas nas versões com ou sem acabamento é de x e y unidades quando os preços unitários são e reais respectivamente. Qual é a função receita semanal ? Determine o domínio desta função.

Calcule também e . Interprete seus resultados.

2. A prestação mensal que amortiza um empréstimo de A dólares em t anos, quando a taxa de juros é de r ao ano, é dada por .

a) Qual é a prestação mensal para uma hipoteca de U$ 100000,00 que será amortizada ao longo de 20 anos com uma taxa de juros de 8% ao ano? E com uma taxa de 10% ao ano?

b) Determine a prestação mensal para uma hipoteca de U$ 100000,00 que será amortizada ao longo de 30 anos com uma taxa de juros de 8% ao ano?

c) Se a prestação mensal de uma hipoteca de U$ 100000,00 que será amortizada é de U$ xxx , qual o tempo de amortização se a taxa de juros for de 6% ao ano?

3. As normas postais especificam que um pacote enviado pelo serviço específico de remessa de pacotes deve ter a soma do comprimento com o perímetro da seção transversal menor ou igual a 108 polegadas. Qual a função de duas variáveis que calcula o volume de tais pacotes (visando estabelecer os pacotes de maior volume, isto é, considere a condição igual a 108 pol).

4. Determine a função de duas variáveis que calcula a distância da origem até a reta .

5. Determine a função de duas variáveis que calcula a distância do ponto até a reta .

6. Deseja-se construir uma caixa retangular com tampa, tendo volume de 32 . Sabendo que o material utilizado para a confecção da base e da tampa custa R$ 2,00 o e o material utilizado para as laterais custa R$ 1,00 por , determine a função de duas variáveis que calcula o custo da confecção desta caixa.

7. Uma empresa possui três fábricas produzindo a mesma mercadoria. Se a fábrica A produz x unidades, a fábrica B produz y unidades e a fábrica C produz z unidades, seus custos de produção são, respectivamente, , e . Para atender a um pedido de 1100 unidades desta mercadoria, escreva a função (nas variáveis x e y) que determina o custo total de produção?

8. Uma fábrica produz três produtos distintos A, B e C, os quais utilizam a mesma matéria prima. Dada uma quantidade fixa de mão de obra, a gerência da fábrica decide quanto de seus recursos devem ser alocados na produção do produto A, quanto na produção de B e quanto na de C. Se x unidades de A, y unidades de B e z unidades de C são produzidas, suponha que x, y e z devem satisfazer . Suponha também que cada unidade de A gere um lucro de R$ 3,00, cada unidade de B gere um lucro de R$ 6,00 e que cada unidade de C gere R$ 2,00 de lucro. Encontre a função (nas variáveis x e y) que calcula o lucro da firma.

9. Deverá ser construído um reservatório sem tampa e de lados retangulares com capacidade para 121 de água. Internamente deverão ser aplicadas 3 camadas no fundo e 2 camadas nas paredes laterais de um impermeabilizante, que custa R$ 100,00 por e finalmente uma camada de revestimento que custa R$ 20,00 por em todo o reservatório. Determine a função de três variáveis (dimensões do reservatório) que calcula o gasto total com impermeabilizante e revestimento deste reservatório . Qual a relação entre estas três variáveis que é imposta no problema?

10. Dispomos de R$ 3120,00 para impermeabilizar e revestir um reservatório de água sem tampa e de lados retangulares. O impermeabilizante, que custa R$ 80,00 por , é aplicado internamente em 3 camadas no fundo e 2 camadas nas paredes laterais. O revestimento final, que custa R$ 20,00 por , é aplicado em 1 camada. Determine a função de três variáveis (dimensões do reservatório) que calcula o volume do reservatório. Qual a relação entre estas três variáveis que é imposta no problema?

11. Encontre as dimensões do paralelepípedo de volume máximo que pode ser colocado no primeiro octante de tal maneira que tenha três faces sobre os planos coordenados e um vértice no elipsóide de equação .