Mat01353 - Cálculo e Geometria Analítica I-A
Solução da Primeira Verificação : Fila A - 2004/1

Questão 1. (1.5 pontos) Dado o gráfico da função $f$ abaixo, use alongamentos, compressões e translações horizontais ou verticais e faça um esboço do gráfico de $y = 2f(x-2)-1$. Indique, passo a passo, cada transformação usada e a posição dos pontos $P$ e $T$.

Solução :

Sequência de três transformações :

$$f(x) \longmapsto f(x-2) \longmapsto 2 f(x-2) \longmapsto 2 f(x-2)-1$$

1. Translação horizontal de 2 unidades para direita;
2. alongamento vertical de fator 2;
3. translação vertical de 1 unidade para baixo.

Questão 2. (1.0 pontos) Uma caixa aberta é feita a partir de um pedaço retangular de cartolina, removendo-se um cada canto um quadrado de lado $x$ e dobrando-se as abas. Sabendo que os lados de cartolina medem $8 cm$ e $6 cm$, expresse o volume da caixa como função de $x$. Não esqueça de explicitar o domínio da função .

Solução :

$V =$ volume da caixa.

$$V = (8-2x)(6-2x)x = 48x - 28x^2 + 48x$$

Domínio: $x \geq 0$ ,

$$8-2x \geq 0 \Leftrightarrow 2x \leq 8 \Leftrightarrow x \leq 4$$

$$6-2x \geq 0 \Leftrightarrow 2x \leq 6 \Leftrightarrow x \leq 3$$

e logo $0 \leq x \leq 3$. $D(V) = [0,3]$ (a resposta $D(V)=(0,3)$ também é aceitável, pois exclui casos de caixas de volume nulo).

Questão 3. (1.5 pontos) Verifique se a função $f$ é contínua em $x=2$, onde

$$f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle \frac{x^2-x-2}{x-2} \ & \mbox{se} \ x < 2 \\ x^2 + 3x \ & \mbox{se} \ x \geq 2 \end{array} \right.$$

Justifique sua resposta.

Solução :

$$\lim_{x \rightarrow 2^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 2^{-}} \fra... ...\rightarrow 2^{-}} \frac{(x-2)(x+1)}{x-2} = \lim_{x \rightarrow 2^{-}} x+ 1 = 3$$

e

$$\lim_{x \rightarrow 2^{+}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 2^{+}} x^2 + 3x = (2)^2 + 3(2) = 10$$

Assim, como

$$\lim_{x \rightarrow 2^{-}} f(x) \neq \lim_{x \rightarrow 2^{+}} f(x)$$

segue que não existe o limite de $f(x)$ em $x=2$. A função $f(x)$ não é contínua em $x=2$.

Questão 4. (2.0 pontos)

(a) Calcule $f'(x)$ onde $f(x) = \mbox{sen} \, (2x^4-5)$.

(b) Determine $dy/dx$, se $2x^3 - 2xy + y^3 = 13$.

(c) Sabendo que $g(x) = (x^2-3) f(x)$, $f(x) = 3$ e $f'(2)=-4$, calcule $g'(2)$.

Solução :

(a)

$$f'(x) = \cos( 2x^4-5) \frac{d}{dx}(2x^4-5) = 8x^3\cos(2x^4-5)$$

(b)

$$2x^3 - 2xy + y^3 = 13 \Longrightarrow \frac{d}{dx} \left( 2x^3 - 2xy + y^3 \right) = 0$$

$$\Longrightarrow 6x^2 - 2x \frac{dy}{dx} - 2y + 3y^2 \frac{dy}{dx} = 0 \Longrightarrow (3y^2 - 2x) \frac{dy}{dx} = 2y - 6x^2$$

$$\Longrightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{2y-6x^2}{3y^2-2x}$$

(c)

$$g'(x) = (x^2-3) f'(x) + 2x f(x)$$

$$\Longrightarrow g'(2) = (4-3) f'(2) + 4 f(2) = (1)(-4) + 4 (3) = 8$$

Questão 5. (3.0) Dada a função

$$f(x) = \frac{x-6}{3-x},$$

determine:

(a) todas as assíntotas horizontais e todas as assíntotas verticais do gráfico de $f$;

(b) a equação da reta tangente ao gráfico de $f$ em $x=0$;

(c) a área do triângulo formado pela reta tangente ao gráfico de $f$ em $x=0$ e as assíntotas encontradas no ítem (a).

Solução :

Assíntotas horizontais:

$$\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = \lim_{x \rightarrow -\infty} ... ...-x} = \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{1 - 6/x}{3/x-1} = \frac{1-0}{0-1} = -1$$

$$\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = \lim_{x \rightarrow +\infty} ... ...-x} = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{1 - 6/x}{3/x-1} = \frac{1-0}{0-1} = -1$$

e assim a reta $y = -1$ é assíntota horizontal, tanto à esquerda quanto à direita do gráfico de $f$.

Assíntototas verticais: como $f$ é uma função contínua para $x \neq 3$, AV somente poderia existir em $x=3$. Como o denominador $3-x$ se aproxima de zero e o numerador $x-6$ não se aproxima de zero ao $x \rightarrow 3$, então os limites laterais em $x=3$ são infinitos, e assim a reta $x=3$ é uma assíntota vertical.

(b) Regra do Quociente:

$$f'(x) = \frac{(3-x)(1)-(-1)(x-6)}{(3-x)^2} = \frac{3-x+x-6}{(3-x)^2} = \frac{-3}{(3-x)^2}$$

$$f(0) = \frac{0-6}{3-0} = -2$$

$$f'(0) = \frac{-3}{(3-0)^2} = -\frac{1}{3}$$

e a equação da reta tangente é

$$y - 0 = -\frac{1}{3}(x-0) \Longrightarrow y = -\frac{x}{3}$$

(c)

a área desse triângulo é $(1)(3)/2 = 3/2$.

Questão 6. (1.0 pontos) Um balão metereológico é lançado do solo a uma distância de $400 m$ de um observador fixo no solo. Sabendo que o balão sobe verticalmente à razão de $3m /seg$, determine a taxa de variação em relação ao tempo, da distância entre o balão e o observador, quando a altura do balão é de $300 m$.

Solução :

Ponto O: posição do observador; ponto B: posição do balão .

Relação entre as variáveis: $$x^2 + (400)^2 = s^2$$.

$$2x \frac{dx}{dt} + 0 = 2 s \frac{ds}{dt}$$

quando $x = 300$, temos

$$s = \sqrt{(300)^2+ (400)^2} = 100 \sqrt{3^2 + 4^2} = 500$$

e assim, quando $x(t) = 300$:

$$2 (300) (3) = 2 (500) \frac{ds}{dt} \Rightarrow \frac{ds}{dt} = \frac{(300)3}{500} = \frac{9}{5}.$$

A taxa de variação da distância ao observador, em relação ao tempo, é de $\frac{9}{5} \ m/s$.