Mat01353 - Cálculo e Geometria Analítica I-A
Solução da Primeira Verificação : Fila B - 2003/2

Questão 1. (1.5 pontos) Verifique se a função $$f(x) = \frac{cx^2 + d}{x^2}$$, $c > 0$ e $d > 0$, possui assíntotas horizontais e/ou verticais. Justifique sua resposta. Em caso afirmativo, determine as equações de todas assíntotas.

Solução :

Assíntota horizontal no $+\infty$:

$$\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{cx^2+d}{x^2}= \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{cx^2}{x^2} = c$$

e então a reta $y=c$ é assíntota horizontal do gráfico de $f$ (no $+\infty$, ou à direita ).

Assíntota horizontal no $-\infty$:

$$\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{cx^2+d}{x^2}= \lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{cx^2}{x^2} = c$$

e então a reta $y=c$ é assíntota horizontal do gráfico de $f$ (no $-\infty$, ou à esquerda).

Assíntotas verticais:

Ocorrência: $x=0$ (zero no denominador)

Teste:

$$\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{cx^2+d}{x^2} = \lim_{x\rightarrow 0} c + \frac{d}{x^2} = +\infty$$

e a reta $x=0$ é uma assíntota vertical do gráfico de $f$.

Questão 2. (1.5 pontos) Considere a função $f(x) = 3 x^2 - 2 \ln(x)$.

(a) (1 ponto) Determine as abscissas de todos os pontos do gráfico de $f$ nos quais a reta tangente é paralela à reta $4x-y + 3 = 0$.

(b) (0.5 pontos) Considere $h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$, onde $f$ é dada acima e $g$ é uma função derivável em ${\mathbb{R}}$. Sabendo que $g(1) = 1/4$ e $g'(1) = 1/3$, determine $h'(1)$.

Solução :

(a) Temos

$$f'(x) = 3 (2x) - \frac{2}{x} = \frac{6x^2-2}{x}$$.

A inclinação da reta $4x-y + 3 = 0$ é $m=4$ e assim

$$\frac{6x^2-2}{x} = 4 \Leftrightarrow 3x^2 - 1 = 2x \Leftrightarrow 3x^2 - 2x - 1 = 0$$

cujas raízes são

$$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2-4(3)(-1)}}{2(3)} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{6} = \frac{2 \pm 4}{6}$$

e as abscissas procuradas são $x_1 = 1$ e $x_2 = -1/3$.

(b)

$$f'(x) = 6x - 2/x$$

Regra do Quociente

$$h'(x) = \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2} \Rightarrow h'(1) = \frac{f'(1)g(1)-f(1)g'(1)}{g(1)^2}$$

onde

$$f'(1)=6(1)-2/1 = 4 \ , \ f(1) = 3(1)^2-2(0)=3$$

e assim

$$h'(1) = \frac{ 4 (1/4) - 3 (1/3) }{(1/4)^2} = 0$$ .

Questão 3. (1.5 pontos)

Determine $k$ de modo que a função $f$ seja contínua em $x=0$, onde

$$f(x) = \left\{ \begin{array}{lr} \displaystyle \frac{\mbox{sen} \... ...x}, & \mbox{se} x > 0 \\ x^2 - 3k , & \mbox{se} x \leq 0 \end{array} \right.$$

Solução :

Para $f$ ser contínua em $x=0$, devemos ter:

$$\lim_{x \rightarrow 0^{+} } f(x) = f(0) = \lim_{x \rightarrow 0^{-}} f(x)$$.

Calculando:

$$\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\mbox{sen} \, (6x)}{x} = -3k = \lim_{x \rightarrow 0^{-} } x^2 - 3k$$

$$6 \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\mbox{sen} \, (6x)}{6x} = -3k$$

$$6 = -3k \Leftrightarrow k = -2$$

pois

$$\lim_{u \rightarrow 0} \frac{\mbox{sen} \, (u)}{u} = 1$$.

Assim, a função é contínua em $x=0$ se somente se $k=-2$.

Questão 4. (2.0 pontos)

(1) (1.0 ponto) Usando a definição de derivada em um ponto,

$$f'(x_0) = \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

determine $f'(x_0)$ para $x_0 = -3$, onde $f(x) = x^2 - 2x$.

(2) (1.0 ponto) Considere a curva de equação $e^{2xy} - y^3 + 2x^2 = 9$. Determine:

(a) $$\frac{dy}{dx}$$ (b) a equação da reta tangente à curva no ponto $(2,0)$

Solução :

(1)

$$f'(-3) = \lim_{x \rightarrow -3} \frac{ (x^2-2x)-((-3)^2-2(-3))}{x-(-3)} = \lim_{x \rightarrow -3} \frac{x^2 - 2x-15}{x+3}$$

e assim

$$f'(-3) = \lim_{x \rightarrow -3} \frac{(x+3)(x-5)}{x+3} = \lim_{x \rightarrow -3} (x-5)= -3 - 5 = -8$$

(2)(a)

$$2 e^{2xy} \left( x \frac{dy}{dx} + (1) y \right) - 3 y^2 \frac{dy}{dx} + 4x = 0$$

$$\left( 2x e^{2xy} - 3 y^2 \right) \frac{dy}{dx} = -4x - 2ye^{2xy}$$

$$\frac{dy}{dx} = \frac{-4x - 2ye^{2xy}}{2x e^{2xy}-3y^2}$$

(2)(b) Aplicando quando $(x,y) = (2,0)$

$$m = \frac{ -4(2) - 2(0)(1)}{2(2)(1)-3(0)^2} = \frac{-8}{4} = -2$$

e a equação da reta tangente no ponto $(2,0)$ é

$$y - 0 = -2 (x-2)$$.

Questão 5: (2.0 pontos) O gráfico de uma função $f$, definida em $[-1,3]$, é dado abaixo.

(a) Faça um esboço do gráfico da derivada de $f$.

(b) Faça um esboço do gráfico de $g(x) = 1 - f(x)$.

(c) Faça um esboço do gráfico de $h(x) = \vert 1 - f(x)\vert$.

Solução :

(a) Como o gráfico de $f$ é formado por segmentos de reta, a derivada em cada intervalo é o coeficiente angular da respectiva reta:

• a inclinação do gráfico de $f(x)$ no intervalo $(0,1)$ é $(2-1)/(1-0)=1$,
• a inclinação do gráfico de $f(x)$ no intervalo $(1,3)$ é $(0-2)/(3-1)=-1$.

(b) reflexão no eixo das abscissas + translação vertical de 1 unidade para cima

(c) reflexão no eixo das abscissas somente da parte negativa

Questão 6: (1.5 pontos) Um holofote está no solo a 20 m de um edifício. Um homem de 1.80 m de altura anda a 1.5 m/s, a partir do holofote em direção ao edifício.

(a) Expresse o comprimento $s$ da sombra do homem, sobre o edifício, em função de sua distância $x$ ao holofote. Indique o domínio da função .

(b) Determine a taxa de variação instantânea de $s$ em relação ao tempo quando o homem estiver a 17 m do edifício (indique a unidade). Neste instante, o comprimento da sobra está aumentando ou diminuindo ?

Justifique suas respostas.

Solução :

(a) Temos, do triângulo retângulo acima,

$$\frac{x}{1.8} = \frac{20}{s} \Rightarrow s = s(x)= \frac{20(1.8)}{x} = \frac{36}{x}$$

a função está definida para $0 < x \leq 20$.

(b) Do enunciado: $dx/dt = 1.5 m/s$. Queremos saber $ds/dt$ quando $x=20-17=3$.

$$s = \frac{36}{x} \Rightarrow \frac{ds}{dt} = \frac{ds}{dx} \cdot ... ...{-36}{x^2} \cdot (1.5) = \frac{-36}{(3)^2} \cdot (1.5) = \frac{-54}{(3)^2}= -6$$

Taxa de variação instantânea: $-6$ m/s . O comprimento da sombra está diminuindo neste instante.