Solução da Segunda Verificação - Fila C - 2003-1

Questão 1. (1.5 pontos)

Resolva

(a) $$\lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\ln(1+x)}{4x}$$

(b) $$\lim_{x \rightarrow 0} \mbox{cotg} \, (x)(\mbox{sen} \, (5x)-\mbox{sen} \, (2x))$$

Solução : (a)

$$\lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\ln(1+x)}{4x} \begin{array}{c} 0/... ...^+} \frac{1/(1+x)}{4} = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{1/4}{1+x} = \frac{1}{4}$$

(b)

$$\lim_{x \rightarrow 0} \mbox{cotg} \, (x)(\mbox{sen} \, (5x)-\mbo... ...rightarrow 0} \frac{5\cos(5x)-2\cos(2x)}{\sec^2(x)} = \frac{5(1)-2(1)}{1^2} = 3$$

Questão 2. (1.5 pontos) Ao lado (abaixo)é dado o gráfico da DERIVADA de uma função $f$.

Sabendo que $f$ é contínua em toda a reta,

(a) determine as abscissas dos pontos de máximo e dos de mínimo locais (relativos) do gráfico de $f$;

(b) determine os intervalos onde o gráfico da função $f$ é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo;

(c) determine as abscissas dos pontos de inflexão do gráfico de $f$, se esses últimos existirem;

Justifique suas respostas.

Solução : (a) Pelo Teste da Derivada Primeira (TDP),

• o sinal da derivada troca de + para - em $x=3$ : $x=3$ é ponto de máximo local;
• o sinal da derivada troca de - para + em $x=4$ : $x=4$ é ponto de mínimo local;

(b) Lembramos que a derivada segunda é a taxa de variação da derivada primeira.

$\bullet$ A derivada primeira é crescente em $I_1 = [1,2] \bigcup [3.5, +\infty)$:

$$\Longrightarrow f''(x) \geq 0$$ em $I_1 \Longrightarrow$ o gráfico de $f$ é côncavo para cima em $I_1$.

$\bullet$ A derivada primeira é decrescente em $I_2 = (-\infty,1] \bigcup [2, 3.5]$:

$$\Longrightarrow f''(x) \leq 0$$ em $I_2 \Longrightarrow$ o gráfico de $f$ é côncavo para baixo em $I_2$.

(c) Pela parte (b), existe troca de concavidade em $x=1$, $x=2$ e $x=3.5$. Então essas são as abscissas dos pontos de inflexão .

Questão 3. (2.0 pontos) Dada a função $f(x) = x^4 e^{2x}$, $x \in {\mathbb{R}}$,

(a) determine os intervalos de crescimento e os de decrescimento de $f$; e os pontos de máximo e os de mínimo locais (relativos) caso existam;

(b) verifique a existência de assíntotas horizontais e verticais (indique as respectivas equações );

(c) sabendo que o gráfico de $f$ é

• côncavo para cima em $(-\infty,-3] \bigcup [ -1,+\infty);$
• côncavo para baixo em $[-3,-1]$;

faça um esboço do gráfico de $f$ utilizando os ítens (a) e (b), indicando interceptos, pontos extremos e de inflexão (caso existam). Utilize $f(-1) = 0.13, \quad f(-2) = 0.29, \quad f(-3)=0.20$.

(a)

$$f'(x) = 4x^3 e^{2x} + x^4 (2) e^{2x} = 2x^3(2 + x) e^{2x}$$

Como o fator $e^{2x}$ é sempre positivo, o sinal de $f'(x)$ é determinado pelo termo $x^3(2+x)$, conforme abaixo:

Pelo TDP,

$x=-2$ é ponto de máximo local;

$x=0$ é ponto de mínimo local.

(b) Como a função é contínua em toda a reta, não existem assíntotas verticais. Para assíntotas horizontais:

Para $x \rightarrow -\infty$:

$$\lim_{x \rightarrow -\infty} x^4 e^{2x} \stackrel{\infty \cdot 0... ...\end{array} \displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{4x^3}{-2e^{-2x}}$$

e temos uma indeterminação do tipo $\infty/ \infty$. Aplicando novamente

$$\lim_{x \rightarrow -\infty} x^4 e^{2x} = \displaystyle \lim_{x \... ...ystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{24}{16e^{-2x}} = \frac{1}{+\infty}=0$$.

Para $x \rightarrow \infty$:

$$\lim_{x \rightarrow +\infty} x^4 e^{2x} \stackrel{\infty \cdot \infty}{=} + \infty$$.

Assim $y = 0$ é uma assíntota horizontal do gráfico de $f$.

(c) Usando a informação dada e a calculada nas partes (a) e (b):

• $f(x)$ é crescente em $(-\infty,-2] \bigcup [0,+\infty)$
• $f(x)$ é decrescente em $'[-2,0]$
• a reta $y = 0$ é assíntota horizontal ao $x \rightarrow -\infty$

Questão 4. (1.5 pontos)

Um recipiente em forma de paralelepípedo com base quadrada deve ter um volume de $2000 cm^3$. O material para a base e a tampa custa $ 1 por $cm^2$ e o dos lados $ 4 por $cm^2$. Encontre as dimensões do recipiente de menor custo.

Justifique sua resposta.

Solução :

Seja $x$ a dimensão da aresta da base; $h$ é a altura do recipiente.

Queremos minimizar

$$C = 2x^2 (1) + 4xh (4) = 2x^2 + 16 xh$$

com a restrição :

$$V = x^2 h = 2000$$.

Temos

$$h = \frac{2000}{x^2} \Rightarrow C(x) = 2 x^2 + 16x \frac{2000}{x^2} = 2x^2 + \frac{16(2000)}{x}$$,

cujo domínio é $(0,+\infty)$. Assim

$$C'(x) = 4x - \frac{16(2000)}{x^2}$$

e pontos críticos em $(0,+\infty)$ devem satisfazer

$$4x = \frac{16(2000)}{x^2}$$

ou seja

$$x^3 = 4(2000) = 8000 \Rightarrow x = \sqrt[3]{8000} = 20$$.

$\bullet$ Além disso, como

$$C'(x) = \frac{4(x^3-8000)}{x^2}$$

vemos que o sinal de $C'(x)$ troca de negativo para positivo em $x=20$. Pelo Teste da Derivada Primeira, $x=20$ é um ponto de mínimo relativo em $(0,+\infty)$. Como $C(x) \rightarrow +\infty$ ao $x \rightarrow +\infty$, não existem máximos absolutos em $(0,+\infty)$. Portanto, o único extremo absoluto (mínimo) ocorre em $x=20$.

Alternativamente, como

$$C''(x) = 4 + \frac{32(2000)}{x^3} > 0$$

o gráfico de $C(x)$ é sempre côncavo para cima em $(0,+\infty)$ e portanto o único ponto estacionário $x=20$ é de máximo absoluto neste intervalo.

Questão 5. (2.0 pontos) Resolva as integrais indefinidas

(a) $$\int (x+1)e^{x} dx$$

(b) $$\int 2x (4-x^2)^{1/3} dx$$

Solução :

(a) Integração por Partes:

$$\begin{array}{rl} u = x+1, & du = dx \\ dv = e^x dx, & v = e^x \end{array}$$

e assim

$$\int (x+1) e^x dx = (x+1)e^x - \int e^x dx = (x+1)e^x - e^x + C$$

onde $C$ é uma constante real qualquer.

(b) Integração por Substituição :

$$u = 4 - x^2 \Rightarrow du = -2x dx$$

e assim

$$\int 2x (4-x^2)^{1/3} dx = \int u^{1/3}(-)du = - \int u^{1/3} du... ...frac{u^{4/3}}{4/3} = - \frac{3 u^{4/3}}{4} + C = - \frac{3(4-x^2)^{4/3}}{4} + C$$

onde $C$ é uma constante real qualquer.

Questão 6. (1.5 pontos) Encontre e classifique (em máximo ou mínimo) os pontos extremos absolutos da função $f(x) = 2\mbox{sen} \, (x)-\cos^2(x)$ no intervalo $[0,2\pi]$. Justifique sua resposta.

Solução : Como $f(x)$ é contínua em um intervalo fechado, candidatos a pontos extremos absolutos estão dentre os pontos críticos e os pontos extremos do intervalo ($0$ e $2\pi$).

$$f'(x) = 2 \cos(x) - 2\cos(x)(-sen(x)) = 2 \cos(x) (1+\mbox{sen} \, (x))$$

Pontos críticos em $[0,2\pi]$ satisfazem

$$\cos(x) = 0 \Rightarrow x = \pi /2$$

$$\mbox{sen} \, (x)=-1 \Rightarrow x = 3\pi /2$$

e temos

$x$	$f(x)$
$0$	$f(0)= -1$
$\pi/2$	$f(\pi/2) = 2(1)$
$3\pi/2$	$f(3\pi/2)=2(-1)$
$2\pi$	$f(2\pi) = -(1)^2$

$$\Rightarrow x=\pi/2$$ é ponto de máximo absoluto em $[0,2\pi]$

$$\Rightarrow x=3\pi/2$$ é ponto de mínimo absoluto em $[0,2\pi]$