Mat01353 - Cálculo e Geometria Analítica I-A
Solução da Primeira Verificação : Fila B - 2003/1

 

Questão 1. (1.5 pontos)

(a) Calcule $dy/dx$ , sendo $y = e^{x^3 + 3 \sqrt{x}}$.

(b) Calcule $f'(1/3)$, sendo

$$f(x) = \frac{2 + \ln(3x)}{3 + x^2}$$.

Solução :

(a) Aplicando a Regra da Cadeia,

$$\frac{dy}{dx} = e^{x^3 + 3\sqrt{x}} \cdot \frac{d}{dx}(x^3 + 3x^{1/2})$$

$$\frac{dy}{dx} = e^{x^3+3\sqrt{x}}(3x^2 + (3/2) x^{-1/2})= e^{x^3+3\sqrt{x}}\left(3x^2 + \frac{3}{2\sqrt{x}}\right)$$

(b) Aplicando a Regra do Quociente,

$$f'(x) = \frac{(3+x^2)(2+\ln(3x))' - (3+x^2)'(2+\ln(3x))} {(3+x^2)... ...^2) - 2x^2(2+\ln(3x))}{x(3+x^2)^2} = \frac{3-3x^2 - 2x^2 \ln(3x)}{x(3+x^2)^2}$$

$$f'(1/3) = \frac{3-3(1/3)^2-2(1/3)^2 \ln(3 \cdot 1/3)} {1/3(3+(1/3)^2)^2} = \frac{3 - 1/3 - 0}{1/3(28/9)^2}= \frac{8/3}{1/3(28/9)^2}$$

$$f'(1/3) = 8 \left( \frac{9}{28} \right)^2$$.

Questão 2. (1.5 pontos)

(a) Calcule $$\lim_{y \rightarrow 3} \frac{y-3}{\sqrt{y+1} \ -2}$$.

(b) Calcule $$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos(2x)}{x^2}$$.

Solução :

(a) Temos

$$\lim_{y\rightarrow 3} \frac{y-3}{\sqrt{y+1} \ -2} = \lim_{y\righ... ...{y+1} \ +2)}{(y+1)-4} = \lim_{y\rightarrow 3} \sqrt{y+1} +2 = \sqrt{3+1}+2 = 4$$.

(b) Temos

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos(2x)}{x^2} = \lim_{x \rightarr... ...c{\mbox{sen} \, {2x}}{2x}\frac{1} {1+\cos(2x)} = 4\cdot (1)^2 \frac{1}{1+1} = 2$$.

Questão 3. (1.5 pontos)

Determine a equação da reta tangente ao gráfico de $f(x)=5x^2 - 3 \sqrt[3]{x}$ no ponto de abscissa 1 e mostre que tal reta também passa pelo ponto (2,11).

Solução :

$$f(x) = 5x^2 - 3 x^{1/3}$$

$$f'(x) = 5(2)x - 3(1/3)x^{-2/3} = 10x - \frac{1}{x^{2/3}}= 10x - \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} \ , \ x \neq 0$$

No ponto (1,f(1)):

$$f(1) = 5(1)^2 - 3\sqrt[3]{1} = 5-3 = 2$$

$$f'(1) = 10(1) - \frac{1}{\sqrt[3]{(1)^2}} = 10-1=9$$

a equação é

$$y-2 = f'(1)(x-1) \Rightarrow y-2 = 9(x-1)$$

e o ponto (2,11) pertence à essa reta pois 11-2= 9(2-1).

Questão 4. (2.0 pontos)

Dada a função $$f(x) = \vert x^2 - 9\vert - 6$$

(a) partindo do gráfico de $y = x^2$, faça um esboço do gráfico de $f$ usando, se necessário, translações , alongamentos, compressões e valor absoluto. Indique, passo a passo, o que foi usado e marque em cada gráfico todas as intersecções com os eixos;

(b) expresse $f(x)$ sem usar valor absoluto;

(c) verifique a existência de $f'(3)$. Justifique sua resposta.

Solução :

(a)

(b) Para eliminar o valor absoluto,dividimos em casos:

(i) Se $x^2-9 \geq 0$, isto é, se $x^2 \geq 9$, isto é

$$\sqrt{x^2} \geq \sqrt{9} \Leftrightarrow \vert x\vert \geq 3$$

temos que

$$f(x) = (x^2-9)-6 = x^2 - 15$$

(ii) Caso contrário, isto é, se $\vert x\vert < 3$, temos

$$f(x) = -(x^2-9)-6 = 3-x^2$$.

Dessa forma

$$f(x) = \left\{ \begin{array}{lr} x^2 - 15, & \vert x\vert \geq 3 \\ 3 - x^2, & \vert x\vert < 3 \end{array} \right.$$ .

(c) Calcularemos as derivadas laterais, usando $f(3) = \vert 3^2-9\vert-6=-6$:

$$\lim_{x \rightarrow 3^{-}} \frac{f(x)-f(3)}{x-3} = \lim_{x \rightarrow 3^{-}} \frac{3-x^2-(-6)}{x-3} = \lim_{x \rightarrow 3^{-}} \frac{9-x^2}{x-3}$$

e como $9 - x^2 = -(x^2-9)=-(x+3)(x-3)$ temos

$$\lim_{x \rightarrow 3^{-}} \frac{f(x)-f(3)}{x-3} = \lim_{x \rightarrow 3^{-}} -(x+3) = -(3+3)=-6$$

ao passo que

$$\lim_{x \rightarrow 3^{+}} \frac{f(x)-f(3)}{x-3} = \lim_{x \right... ...tarrow 3^{+}} \frac{x^2-9}{x-3} = \lim_{x \rightarrow 3^{+}} (x+3) = 3 + 3 = 6$$

Resposta: Como os resultados são diferentes, $f'(3)$ não existe.

Questão 5. (1.5 pontos)

Dois carros A e B deslocam-se em estradas retilíneas perpendiculares.

Em um dado instante, o carro A está 6 km ao norte do cruzamento das estradas e afasta-se do mesmo, enquanto o carro B está 8 km à leste do cruzamento e aproxima-se do mesmo a uma velocidade de 50Km/h. Um radar no carro A indica que a distância entre eles está aumentando a uma taxa de 20 km/h. Determine a velocidade do carro B neste instante.

Solução :

$x(t)$ : distância do carro A até o cruzamento em km;

$y(t)$ : distância do carro B até o cruzamento em km;

$s(t)$ : distância entre os dois carros em km;

$t$ : tempo em horas (h).

Informação dada: quando $y=8$ temos

$$dy/dt = - 50 \ , \ x=6 \ , \ ds/dt = 20 .$$

Queremos saber $dx/dt$ neste instante.

Com auxílio do diagrama dado, vemos que $s^2 = x^2 + y^2$.

Isso implica

$$2 s \frac{ds}{dt} = 2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt}$$

ou seja

$$s \frac{ds}{dt} = x \frac{dx}{dt} + y \frac{dy}{dt}$$.

Além disso

$$x = 6, y = 8 \Rightarrow s^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \Rightarrow s = 10$$.

Temos

$$(10) (20) = (6) \frac{dx}{dt} + 8 (-50)$$

$$\Rightarrow \frac{dy}{dt} = \frac{(10)(20)+(8)(50)}{6} = \frac{600}{6} = 100$$.

Resposta: O carro A afasta-se com uma velocidade de 100 km/h neste instante.

Questão 6. (1.5 pontos)

(a) Derive a equação $x^2 = y^2 + \mbox{sen} \, (xy)$ e obtenha $dy/dx$. Sabendo que $y = f(x)$ é definida implicitamente pela equação acima, com $f(\sqrt{\pi})=\sqrt{\pi}$, calcule $f'(\sqrt{\pi})$.

(b) Seja $f$ a função racional dada por

$$f(x) = \frac{a x^n + 3}{3x^5 + 2}$$.

Sabendo que $y=3$ é uma assíntota horizontal do gráfico de $f$, determine todos os possíveis valores de $a$ e $n$.

Solução :

(a) Derivação Implícita:

$$\frac{dx^2}{dx} = \frac{d}{dx} \left[y^2 + \mbox{sen} \, (xy) \right]$$

$$2x = 2y \frac{dy}{dx} + \cos(xy) \left( (1)y + x \frac{dy}{dx} \right)$$

$$\Longrightarrow 2x- y \cos(xy) = (2y + x \cos(xy))\frac{dy}{dx} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{2x-y\cos(xy)}{2y + x \cos(xy)}$$.

Sabendo que $x=\sqrt{\pi} \Rightarrow y = \sqrt{\pi}$:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{ 2 \sqrt{\pi} - \sqrt{\pi} \cos(\pi)} {2\sq... ...{\pi}(-1)}{2 \sqrt{\pi} + \sqrt{\pi}(-1)} = \frac{3\sqrt{\pi}}{\sqrt{\pi}} = 3$$

no ponto $x = \sqrt{\pi}$.

(b) $y=3$ é assíntota horizontal: $f(x) \rightarrow 3$ ao $x \rightarrow + \infty$ ou $x \rightarrow -\infty$. Dessa forma, o grau do numerador deve ser o mesmo do denominador, o que implica que n deve ser igual a 5. Para que a razão entre os termos dominantes seja igual a 3, devemos ter $a=9$.

Alternativamente,

$$\lim_{x \rightarrow \pm \infty} \frac{a x^n+3}{3x^5 + 2} = \lim_{... ...\left\{ \begin{array}{l} n = 5 \\ a/3 = 3 \Rightarrow a = 9 \end{array} \right.$$

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