Mat01353 - Cálculo e Geometria Analítica I-A
Solução da Terceira Verificação : Noite A - 2002/2

Questão 1. (3.0 pontos).

(a) Calcule $$\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{4- x^2}}$$ usando uma substituição trigonométrica conveniente.

(b) Calcule $$\int \frac{3x^2+x-2}{x^2(x-2)} dx$$ usando o método de Frações Parciais.

(c) Calcule a integral imprópria : $$\int_1^{+\infty} \frac{3}{x\sqrt{x}} dx$$.

Solução :

(a) Substituição $x = 2 sen(u) \Rightarrow dx = 2 cos(u) du \ , \ -\pi \leq u \leq \pi$

$$\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{4- x^2}} = \int \frac{2 \cos(u) du}{4 sen^2(u) \sqrt{4 - 4 sen^2(u)}} = \int \frac{2 \cos(u) du}{4 sen^2(u) 2 \cos(u)}$$

$\Longrightarrow \displaystyle \int \frac{dx}{x^2 \sqrt{4- x^2}} = \int \frac{du}{4 sen^2(u)} = \frac{1}{4} \int cossec^2(u) du = -\frac{1}{4} cotg(u) + C$

onde

$$cotg(u) = \frac{\cos(u)}{sen(u)} = \frac{\sqrt{1 - (x/2)^2}}{x/2} = \frac{\sqrt{4 - x^2}}{x}$$

e assim

$$\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{4- x^2}} = -\frac{\sqrt{4-x^2}}{4x} + C \ , \ C \in {\mathbb{R}}$$.

(b) Decomposição em Frações Parciais:

$$\frac{3x^2 + x -2}{x^2(x-2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x-2} = \frac{Ax(x-2) + B(x-2) + Cx^2} {x^2(x-2)}$$

e então

$$3x^2 + x -2 = A(x^2 - 2x) + B(x-2) + Cx^2$$

$$3x^2 + x -2 = (A + C)x^2 + (B-2A)x - 2B$$

e temos que resolver

$$\left\{ \begin{array}{ccc} A + C &= 3\\ B - 2A & = 1 \\ - 2B &= -2 \end{array} \right.$$ .

Temos então

$$B = 1 \Rightarrow 2A = B-1 = 0 \Rightarrow A = 0$$

$$C = 3 - A = 3 - 0 = 3$$

e assim

$$\frac{3x^2 + x -2}{x^2(x-2)} = \frac{1}{x^2} + \frac{3}{x-2}$$

e finalmente

$$\int \frac{3x^2+x-2}{x^2(x-2)} dx = \int \left( x^{-2} + \frac{3}{x-2} \right) dx = 3 \ln \vert x-2\vert - \frac{1}{x} + C \ , \ C \in {\mathbb{R}}$$

(b) Por definição :

$$\int_1^{\infty} \frac{3}{x \sqrt{x}} dx = \lim_{\ell \rightarrow \infty} \int_1^{\ell} 3 x^{-3/2} dx$$.

Temos

$$\int_1^{\ell} 3 x^{-3/2} dx = 3 \left[ \frac{x^{-1/2}}{-1/2} \rig... ...ell}} - \frac{1}{\sqrt{1}} \right) = 6 \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{\ell}} \right)$$

e finalmente

$$\int_1^{\infty} \frac{3}{x \sqrt{x}} dx = \lim_{\ell \rightarrow \infty} 6 \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{\ell}} \right) = 6$$.

Questão 2 (2.0 pontos) Dada as curvas $y=x^2$ e $y = 4x-x^2$.

(a) Faça um esboço da região R limitada pelas curvas dadas identificando claramente os pontos de intersecção ;

(b) calcule a área da região R.

Solução :

(a) intersecção :

$$x^2 = 4x-x^2 \Leftrightarrow 2x^2 - 4x = 0 \Leftrightarrow 2x(x-2)=0$$

$$\Rightarrow x_1 = 0 \ , \ x_2 = 2$$

$$y_1 = x_1^2 = 0 \ , \ y_2 = x_2^2 = 4$$

O gráfico abaixo esboça a região R:

(b) Temos

$$A = \int_{0}^{2} \left[ (4x-x^2) - (x^2) \right] dx$$

$$A = \int_0^2 ( 4x-2x^2 ) dx = \left[ 2x^2 - \frac{2x^3}{3} \right]_0^2 = 2 (2)^2 - \frac{2 (2)^3}{3} - 0 + 0 =$$

$$A = 8 - \frac{2(8)}{3} = \left( 1 - \frac{2}{3} \right) 8 = \frac{8}{3}$$ .

Questão 3 (2.0 pontos)

Seja R a região hachurada na figura ao lado (abaixo) onde

$$g(x) = x^2-1$$ e $f(x) = 2 \sqrt{5x+1}$

Escreva (não calcule) a integral que dá área da região R:

(a) integrando em relação à $x$.

(b) integrando em relação à $y$.

Solução :

(a) zero da função $f$: $5x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1/5$.

zero da função $g$ : $x^2 = 1 , x > 0 \Rightarrow x=1$.

$$A = \int_{-1/5}^1 2\sqrt{5x+1}dx + \int_1^3 \left[ 2 \sqrt{5x+1} - (x^2-1) \right] dx$$

(b) $y = x^2 -1 \Rightarrow x = \sqrt{y+1} = x_g$

$$y = 2\sqrt{5x+1} \Rightarrow (y/2)^2 = 5x + 1 \Rightarrow x = \frac{y^2/4-1}{5} = x_f$$

e assim

$$A = \int_0^8 (x_g - x_f) dy= \int_0^8 \left( \sqrt{y+1} - \frac{y^2/4-1}{5} \right) dy$$.

Questão 4 (1.5 pontos) Seja

$$F(x) = \int_{1}^x f(t) dt \ , \ 1 \leq x \leq 4$$

onde o gráfico de $y = f(x)$ é dado ao lado (abaixo). Sabendo que a área da região $A_1$ é 4, da região $A_2$ é 2 e da região $A_3$ é 1.

(a) Calcule $F(1), F(2), F(3), F(4)$.

(b) Determine os intervalos onde $F$ é crescente e onde $F$ é decrescente.

Solução :

(a) Contabilizando áreas das regiões dadas :

$$F(1) = \int_{1}^{1} f(t)dt = 0$$

$$F(2) = F_1 - 4 = -4$$

$$F(3) = F_2 + 2 = -2$$

$$F(4) = F(3) -1 = -3$$.

(b) Pelo Teorema Fundamental do Cálculo (parte 2):

$$F'(x) = \frac{d}{dx} \left[ \int_{1}^x f(t) dt \right] = f(x) \ , \ x \in (1,4)$$

e assim:

$F'(x)= f(x) < 0$ em $(1,2) \bigcup (3,4) \Longrightarrow F(x)$ é decrescente em $(1,2) \bigcup (3,4)$.

$F'(x) = f(x) > 0$ em $(2,3) \Longrightarrow F(x)$ é crescente em $(2,3)$.

Questão 5 (1.5 pontos) Determinar a equação canônica da elipse que possui vértices em $(-10,0)$ e $(0,0)$ e passa por $(-2,2)$. Esboçe a curva, explicitando seu centro e seus focos.

Solução :

$$V_1(-10,0) \ , \ V_2(0,0) \Longrightarrow 2a = 10 \Longrightarrow a = 5$$ (distância do centro ao vértice)

e também sabemos que o eixo principal é paralelo ao eixo dos $X$. Também temos $C(-5,0)$, o que implica

$$\frac{(x-(-5))^2}{a^2} + \frac{(y-0)^2}{b^2} = 1 \displaystyle \frac{(x+5)^2}{5^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$

e sabendo que $(x,y) = (-2,2)$ pertence à curva:

$$\frac{(-2+5)^2}{5^2} + \frac{2^2}{b^2} = 1 \Rightarrow \frac{9}{25} + \frac{4}{b^2} = 1$$

$$\Longrightarrow \frac{4}{b^2} = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \Rightarrow \frac{1}{b^2} = \frac{4}{25}$$

e assim $b = 5/2$ e temos

$$\frac{(x+5)^2}{25} + \frac{4y^2}{25} = 1$$ .

Além disso, como $a^2 = b^2 + c^2$,

$$5^2 = \left(\frac{5}{2} \right)^2 + c^2 \Rightarrow c^2 = \frac{25(3)}{2} \Rightarrow c = \frac{5 \sqrt{3}}{2}$$

e os focos são :

$$F_1 = \left( -5 - \frac{5 \sqrt{3}}{2},0 \right) \ , \ F_2 = \left( -5 + \frac{5 \sqrt{3}}{2},0 \right)$$ .

O esboço abaixo aplica a informação sobre os parâmetros $a,b,c$, além da informação sobre o centro e focos: