Mat01353 - Cálculo e Geometria Analítica I-A
Solução da Primeira Verificação : Fila A - 2002/2

Questão 1. (2.0 pontos). Calcule

(a) $$\lim_{x\rightarrow 4} \frac{x^3-2x^2-8x}{x-4}$$

Primeiro, $x^3 - 2x^2 - 8x = x(x^2 - 2x -8) = x(x-4)(x+2)$ após cálculo das raizes do fator de segundo grau. Então

$$\lim_{x\rightarrow 4} \frac{x^3-2x^2-8x}{x-4} = \lim_{x \rightarrow 4} \frac{x(x-4)(x+2)}{x-4} = \lim_{x\rightarrow 4}x (x+2) = 4(6) = 24$$.

(b) $$\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{\sqrt{4x^2+8}}{x}$$

Primeiro, como $x \rightarrow -\infty$, assumimos $x < 0$ e assim $x = -\sqrt{x^2}$. Então

$$\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{\sqrt{4x^2+8}}{x} = \lim_{x \... ...^2+8}}{-\sqrt{x^2}} = \lim_{x \rightarrow -\infty} -\sqrt{\frac{4x^2+8}{x^2}}$$

e assim

$$\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{\sqrt{4x^2+8}}{x} = \lim_{x \rightarrow -\infty} -\sqrt{4 + \frac{8}{x^2}}= -\sqrt{4 + 0}= -2$$ .

(c) $$\frac{d}{dx} \left( e^{\sqrt{7 \arctan{x} }} \right)$$

Reconhecemos a composição :

$$x \Longrightarrow u = 7 \arctan{x} \Longrightarrow v = \sqrt{u} \Longrightarrow w = e^v$$

e assim, pela Regra da Cadeia,

$$\frac{d}{dx} \left( e^{\sqrt{7 \arctan{x} }} \right) = e^{\sqrt{7 \arctan{x} }} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{7 \arctan{x}}} \cdot \frac{7}{1+x^2}$$ .

(d) $$\frac{dy}{dx}$$ se $y^3 + x^2 \ln{y} = 5x$.

Derivação Implícita:

$$3 y^2 \frac{dy}{dx} + \frac{x^2}{y} \frac{dy}{dx} + 2x \ln(y) = 5 \Rightarrow \left( 3y^2 + \frac{x^2}{y} \right)\frac{dy}{dx} = 5 - 2x \ln(y)$$
$\Rightarrow \displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{5 - 2x \ln{y}}{3y^2 + x^2/y}$.

Questão 2. (2.5 pontos)

(a) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de

$$f(x) = \frac{2 cos(x)}{2 + sen(x)}$$

em $x = 0$.

Solução : Pela Regra do Quociente,

$$f'(x) = \frac{ (2+ sen(x))(-2) sen(x) - cos(x) (2 cos(x))} {(2 + sen(x))^2}$$
$$f'(x) = \frac{-4 sen(x) - 2 sen^2(x) - 2 cos^2(x)} {(2 + sen(x))^2} = \frac{-4 sen(x) - 2}{(2 + sen(x))^2}$$

e então

$$x_0 = 0,\ \ y_0 = \frac{2 (1)}{2 + 0} = 1, \ \ m = \frac{-4(0) - 2}{(2 + 0)^2} = - \frac{1}{2}$$

e a equação da reta tangente é

$$y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 0)$$ ou $$y = -\frac{x}{2} + 1$$

(b) Determine um ponto no gráfico de $y = e^{5x}$ no qual sua reta tangente passa pela origem.

Solução : Pela Regra da Cadeia, $$\frac{dy}{dx} = 5 e^{5x}$$. Assim, a equação da reta tangente num ponto $(x_0,e^{5x_0})$ qualquer é:

$$y - e^{5x_0} = 5 e^{5x_0}(x-x_0)$$

e fazendo $(x,y)=(0,0)$ temos

$$-e^{5x_0} = - 5x_0 e^{5x_0} \Rightarrow 5x_0 = 1 \Rightarrow x_0 = \frac{1}{5}$$.

Então $y_0 = e^{ 5 \cdot \frac{1}{5}} = e^1$ e o ponto no gráfico é $(1/5,e)$.

Questão 3. (1.5 pontos) A altura de um triângulo cresce a uma taxa de $1cm/min$ enquanto sua área cresce a uma taxa de $2cm^2/min$. A que taxa está variando a base do triângulo quando sua altura é $10cm$ e sua área é $30cm$ ?

Solução : Denotamos a base por $b$ e a altura por $h$.

$$A = \frac{b h}{2} \Rightarrow \frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} b \frac{dh}{dt} + \frac{1}{2} h \frac{db}{dt}$$.

Temos $h = 10, A = 30 \Rightarrow b = 6$ e então

$$2 = \frac{1}{2} (6) (1) + \frac{1}{2} (10) \frac{db}{dt} \Rightarrow 2 = 3 + 5 \frac{db}{dt} \Rightarrow \frac{db}{dt} = -\frac{1}{5}$$.

Resposta: A base está variando a uma taxa de $-1/5$ $cm/min$.

Questão 4. (2.0 pontos) Seja $f$ uma função cujo gráfico é dado abaixo.

(a) Esboce o gráfico de $g(x) = f(x-2) + 1$ e indique, no mesmo, onde ficaram os pontos que estão marcados no gráfico de $f$.

Solução : Após transladarmos o gráfico dado duas unidades para a direita e uma unidade para cima, temos:

(b) Determine $$\lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{f(x)}{x}$$.

Solução : O numerador $f(x)$ se aproxima de $+1$ enquanto o denominador torna-se arbitrariamente pequeno em valor absoluto e negativo em sinal. Dessa forma, a fração torna-se arbitrariamente grande em valor absoluto e negativa em sinal.

De outra forma: $$\lim_{x\rightarrow 0^{-}} \frac{f(x)}{x} = \frac{1}{0^{-}} = -\infty$$.

(c) Se a função $f$ é racional (ou seja, $$f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}$$, onde $y=p(x)$ e $y=q(x)$ são funções polinomiais) e o grau do numerador é 3, qual o grau mínimo do denominador ? Justifique sua resposta.

Solução : Do gráfico de $f$, temos

$$\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x)= \lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = 0$$

e para tal o denominador de $f(x)$ deve crescer mais rápido que o numerador quando $\vert x\vert \rightarrow \infty$. Como esse denominador é um polinômio, tal somente acontecerá se seu grau for maior que 3 . Logo o grau mínimo é 4.

Questão 5. (2.0 pontos)

(a) Um fazendeiro quer cercar um campo retangular de $3000 m^2$ que está à margem de um rio reto. Ele não vai cercar ao longo do rio. A cerca usada no lado paralelo ao rio custa R$ 15.00 o metro, enquanto que nos outros lados custa R$ 8.00 o metro. Expresse o custo total da cerca em função do comprimento do lado paralelo ao rio, explicitando também seu domínio.

Solução : Seja $x$ o comprimento do lado paralelo ao rio e $y$ o comprimento dos outros dois lados da cerca.

Área = $xy = 3000 \Rightarrow y = 3000/x$.

Custo = $C = x (15) + 2y (8) = 15x + 16 y$ . Então

$$C(x) = 15x + 16 \cdot \frac{3000}{x} = 15 x + \frac{48000}{x} , \ \ x > 0$$.

(b) Seja $f$ uma função derivável até a $2^{a}$ ordem em $(-\infty,\infty)$ que satisfaz a equação $f''(x) + 4 f(x) = 0$, para todo $x \in (-\infty, \infty)$. Verifique que

$$\frac{d}{dx} \left[ f'(x) \cdot sen(2x) - 2 f(x) \cdot cos(2x) \right] = 0$$.

Solução : Temos

$$\frac{d}{dx} \left[ f'(x) \cdot sen(2x) - 2 f(x) \cdot cos(2x) \right] =$$

$$f''(x) sen(2x) + f'(x) 2 cos(2x) - 2f'(x) cos(2x) - 2 f(x) (-2) sen(2x) =$$

$$f''(x) sen(2x) + 4 f(x) sen(2x) = (f''(x) + 4 f(x)) sen(2x) = 0$$

para todo $x \in (-\infty, \infty)$, ou equivalentemente,

$$\frac{d}{dx} \left[ f'(x) \cdot sen(2x) - 2 f(x) \cdot cos(2x) \right] = 0 \Leftrightarrow$$

$$f''(x) sen(2x) + f'(x) 2 cos(2x) - 2f'(x) cos(2x) - 2 f(x) (-2) sen(2x) = 0 \Leftrightarrow$$

$$f''(x) sen(2x) + 4 f(x) sen(2x) = (f''(x) + 4 f(x)) sen(2x) = 0 \Leftrightarrow$$

$$0 \cdot sen(2x) = 0 \Leftrightarrow 0 = 0$$.

Como a última igualdade é verdadeira, a primeira, que é equivalente, também é verdadeira.