Mat01353 - Cálculo e Geometria Analítica I-A
Solução do Exame Geral - Fila A - 2002/2

Questão 1. (2.5 pontos).

(a) Calcular (I) $$\int \frac{ \ln(x) dx}{\sqrt{x}}$$ , , (II) $$\int \frac{3x^2+4x+2}{x(x^2+2x+1)} dx$$

(b) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de $f(x) = \mbox{sen} \, \left( \sqrt{x^2+3\pi^2} \right)$, no ponto de abscissa $x=\pi$.

Solução :

(I) Integração por Partes:

$$\begin{array}{ll} u = \ln(x) & \longrightarrow \displaystyle du =... ...x}{x} \\ dv = \frac{dx}{\sqrt{x}} & \longrightarrow v = 2\sqrt{x} \end{array}$$

Dessa forma,

$$\int \frac{ \ln(x) dx}{\sqrt{x}} = 2\sqrt{x} \ln(x) - \int 2 \sqrt{x} \cdot \frac{dx}{x} = 2 \sqrt{x} \ln(x) - 2 \int x^{-1/2} dx$$

$$\int \frac{ \ln(x) dx}{\sqrt{x}} = 2 \sqrt{x} \ln(x) - 2 \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = 2 \sqrt{x} \ln(x) - 4 \sqrt{x} + C$$

(II) Decomposição em Frações Parciais:

$$\frac{3x^2 + 4x + 2}{x(x^2+2x+1)} = \frac{3x^2 + 4x + 2}{x(x+1)^2} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{(x+1)^2}$$

ou seja

$$\frac{3x^2 + 4x + 2}{x(x^2+2x+1)} = \frac{ A(x+1)^2 + B x(x+1) + C x}{x(x+1)^2}$$

$\Rightarrow \displaystyle 3x^2 + 4x + 2 \equiv A(x^2 + 2x + 1) + B(x^2 + x) + Cx$

$\Rightarrow \displaystyle 3x^2 + 4x + 2 \equiv (A+B) x^2 + (2A + B + C)x + A$

e temos que resolver

$$\left\{ \begin{array}{ccc} A + B &= 3\\ 2A + B + C & = 4 \\ A &= 2 \end{array} \right.$$ .

Temos

$$A =2 \Rightarrow B = 3-A = 3-2 = 1$$

$$\rightarrow C = 4-2A-B= 4-4-1 = -1$$

ou seja

$$\frac{3x^2 + 4x + 2}{x(x^2+2x+1)} = \frac{2}{x} + \frac{1}{x+1} + \frac{-1}{(x+1)^2}$$

o que implica

$$\int \frac{3x^2 + 4x + 2}{x(x^2+2x+1)} dx = \int \left( \frac{2}{x} + \frac{1}{x+1} + \frac{-1}{(x+1)^2} \right) dx$$

$$\int \frac{3x^2 + 4x + 2}{x(x^2+2x+1)} dx = 2 \ln\vert x\vert + \ln\vert x+1\vert - \frac{(x+1)^{-1}}{-1} + C$$

$$\int \frac{3x^2 + 4x + 2}{x(x^2+2x+1)} dx = 2 \ln\vert x\vert + \ln\vert x+1\vert + \frac{1}{(x+1)} + C$$

onde $C$ é qualquer constante real.

(b) Temos, pela Regra da Cadeia,

$$f'(x) = \cos \left( \sqrt{x^2+3\pi^2} \right) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 3 \pi^2}} \cdot (2x)$$

e então

$$f'(\pi) = \cos \left( \sqrt{(\pi)^2+3\pi^2} \right) \cdot \frac{1}{2\sqrt{(\pi)^2 + 3 \pi^2}} \cdot (2\pi)$$

$$f'(\pi) = \cos \left( 2 \pi \right) \cdot \frac{1}{2 (2\pi) } \cdot (2\pi) = \frac{1}{2}$$.

Assim

$$y - f(\pi) = f'(\pi)(x-\pi)$$

$\Rightarrow y - \mbox{sen} \, \left( \sqrt{(\pi)^2 + 3 \pi^2} \right) = \frac{1}{2} (x-\pi)$

$\Rightarrow y - \mbox{sen} \, \left( 2 \pi \right) = \frac{1}{2} (x-\pi)$

$$\Rightarrow y - 0 = \frac{1}{2} (x-\pi)$$

é a equação procurada.

Questão 2. (2.5 pontos)

(a) Uma caixa de base quadrada, sem tampa, deve ter $12 m^2$ de superfície total. Determine o comprimento da aresta da base e a altura da caixa de volume máximo.

(b) Gás escapa de um balão esférico à razão de $4 m^2/h$. Determine a taxa de variação do raio quando sua medida é de 1m, indicando a unidade apropriada.

Solução :

Seja $x$ o comprimenta da aresta da base e $h$ a altura da caixa.

$$x^2 + 4 x h = 12 \Longrightarrow h = \frac{12 - x^2}{4x}$$

$$V = x^2 h \Longrightarrow V(x) = x^2 \cdot \frac{12 - x^2}{4x} = 3 x - x^3/4$$

é a função a ser minimizada em $(0,\sqrt{12})$, pois $12 - x^2$ deve ser positivo.

$$V'(x) = 3 - 3x^2/4$$

Pontos estacionários: $x^2/4 = 1 \Rightarrow x = 2$ ($x$ deve ser positivo)

Pontos de não -diferenciabilidade: não existem pois $V'(x)$ é contínua.

Além disso

$$V''(x) = - 3 x /2 < 0$$

para todo $x$ no intervalo $(0,\sqrt{12})$. Dessa forma $V(x)$ possui um máximo absoluto nesse intervalo quando $x = 2$, e então $h = 12/2^2 = 3$.

A caixa de volume máximo tem aresta de $2 m$ e altura $3 m$.

(b) Sejam $r$ o raio, $V(r)$ o volume. Usando

$$V(r) = \frac{4 \pi r^3}{3}$$

temos

$$\frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dr} \cdot \frac{dr}{dt} = 4 \pi r^2 \ \frac{dr}{dt}$$

e quando $r = 1$ temos

$$4 = 4 \pi (1)^2 \ \frac{dr}{dt} \Longrightarrow \frac{dr}{dt} = \frac{1}{\pi}$$

e então a taxa de variação do raio é de $1/\pi \ m/h$ no instante em que $r = 1m$.

Questão 3. (2.5 pontos)

(a) Esboçe o gráfico de uma função contínua que verifica, simultaneamente, todas as condições abaixo:

(I) $f(2) = 2$ e $f(4)=3$; (II) $$\lim_{x \rightarrow + \infty} f(x) = 1$$ e $$\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = +\infty$$

(III) $f'(x) < 0$ para $x< 2$ e $x > 4$; (IV) $f''(x) > 0$ para todo $x$.

(b) Dado que $f(x) = x^2 e^{2x}$, determine os intervalos de crescimento e decrescimento de $f$, bem como seus pontos de máximo e de mínimo relativo, caso existam. Determine também a equação das assíntotas do gráfico de $f$.

Solução :

(a) Temos que pelo (II) a reta $y=1$ deve ser assíntota horizontal `a direita; pelo (III) a função é decrescente em $(-\infty,2)$ e $(4,+\infty)$. Pelo (IV) o gráfico é sempre côncavo para cima.

É possível traçar o gráfico de uma função contínua com derivada descontínua satisfazendo as restrições acima:

(b) Temos

$$f'(x) = 2 x e^{2x} + x^2 (2) e^{2x} = 2 x(1+x)e^{2x}$$

e como $e^{2x}$ é sempre positivo, o sinal da derivada é determinado pelo sinal da parábola (voltada para cima) $y = x(1+x)$. A expressão se anula em $x=-1$ e $x=0$ e é negativa entre esses valores, e sendo positiva caso contrário. Ou seja,

$$f'(x) < 0$$ em $(-1,0) \Longrightarrow f(x)$ é descrescente em $[-1,0]$.

$$f'(x) > 0$$ em $(-\infty,-1)$ e $(0,+\infty) \Longrightarrow f(x)$ é crescente em $(-\infty,-1] \bigcup [0,+\infty)$.

Máximo relativo em $x=-1$ pois o sinal da derivada troca de positivo para negativo (TDP).

Mínimo relativo em $x=0$ pois o sinal da derivada troca de negativo para positivo (TDP).

A função é contínua e definida em toda a reta, e não existem assíntotas verticais.

Procurando por assíntotas horizontais:

$$\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = \lim_{x \rightarrow -\infty}... ...\stackrel{\infty \cdot 0}{=} \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{x^2}{e^{-2x}}$$

e aplicando a Regra de L'Hopital

$$\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = \lim_{x \rightarrow -\infty}... ...-2e^{-2x}} \stackrel{LH}{=} \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{2}{4e^{-2x}} = 0$$

e então a reta $y=0$ é assíntota horizontal (à esquerda).

$$\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = \lim_{x \rightarrow +\infty} x^2 e^{2x} \stackrel{\infty \cdot \infty}{=} +\infty$$

e não existe assíntota ao $x \rightarrow +\infty$.

Questão 4. (1.5 pontos)

Calcule o volume do sólido obtido ao girarmos a região limitada pelos gráficos de $y = x^3 + 1$, $y = 2$ e o eixo $y$, ao redor da reta $y=1$.

Solução :

Temos, pelo Método das Arruelas,

$$V = \pi \int_0^1 (2^2 - (x^3 + 1)^2) dx = 4 \pi (1-0) - \pi \int_0^1(x^3 + 1)^2 dx$$

e assim

$$V = 4 \pi - \pi \int_0^1(x^6 + 2x^3+ 1) dx = 4 \pi - \pi \left[ \... ...) = 4 \pi - \frac{2 - 7 + 14}{14} \pi = \frac{(56-9)\pi}{14}= \frac{47\pi}{14}$$.

Questão 5. (1.0 pontos)

Considere a cônica definida pela equação $y^2 + 4 y - 10 x + 34 = 0$.

Classifique-a e determine seus elementos principais. Faça um esboço da mesma.

Solução :

$$y^2 + 4y + 4 = 10x - 34 + 4 \Longrightarrow (y+2)^2 = 10(x-3)$$

e temos uma parábola do tipo $(y-k)^2 = 4p(x-h)$.

Assim

$$k = -2, h = 3, 4p = 10 \Longrightarrow p = 10/4 = 5/2$$.

e o eixo principal é paralelo ao eixo dos $X$.

Vértice $V(3,-2)$, foco $F(3+5/2,-2) = F(11/2,-2)$.

Diretriz é a reta $x = 3-5/2$, ie, $x = 1/2$.