Existência de Fatores Integrantes




A respeito de fatores integrantes, cabem algumas perguntas:

1) Toda equação diferencial ordinária de primeira ordem admite um fator integrante?

2) Se existir um fator integrante, ele é único, ou podem existir outros? Podem existir fatores integrantes de diversos tipos?

Vamos começar analisando a segunda questão, que é mais simples. Vamos pensar na equação diferencial escrita já na forma

$\displaystyle M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0$ (1)

É fácil ver que se existir um fator integrante $ \mu_1=\mu_1(x,y)\,$, este não vai ser único, pois todos os seus múltiplos $ \mu_2=\,C\mu_1(x,y)\,$, ($ C$ constante), também serão fatores integrantes. São os triviais. A questão é saber se pode existir algum não trivial, isto é, um fator integrante $ \,\mu_2(x,y)\,$ independente de $ \,\mu_1(x,y)\,$, ou seja, tal que

$\displaystyle \frac{\mu_1(x,y)}{\mu_2(x,y)}\neq$   const.$\displaystyle $



Teorema 1. Suponhamos que a equação diferencial (1) admita dois fatores integrantes independentes $ \mu_1(x,y)$ e $ \mu_2(x,y)$. Então, a solução geral de (1) é dada por

$\displaystyle \frac{\mu_1(x,y)}{\mu_2(x,y)}=C \ .$ (2)

Demonstração: Sejam $ \mu_1(x,y)$ e $ \mu_2(x,y)$ fatores integrantes de (1), independentes. Precisamos provar que a solução geral de (1) é dada por (2). Mas o que significa dizer que (2) é a solução geral de (1)? Significa que a família das soluções de (1) é precisamente a família das curvas de nível da função

$\displaystyle F(x,y)=\frac{\mu_1(x,y)}{\mu_2(x,y)} \ .$ (3)

Em outras palavras, a função $ F(x,y)$, definida por (3), deve ser constante sobre os pontos do gráfico da função $ y=y(x)$, para qualquer solução $ y(x)$ da equação diferencial (1).

Conclusão: dizer que (2) é a solução geral de (1) significa dizer que

$\displaystyle F(x,y(x))=$const.$\displaystyle \ ,
$

o que é o mesmo que dizer que

$\displaystyle \frac{d}{dx}\,F(x,y(x))=0 \ .
$

Pela regra da cadeia, isto é o mesmo que dizer que

$\displaystyle F_x(x,y(x))+F_y(x,y(x))\,y'(x)=0 \ ,$ (4)

para toda $ y(x)$ solução de (1). É isto o que precisamos provar. Mas de (3) segue

$\displaystyle F_x(x,y)=\frac{\mu_2\bigl(\mu_1\bigr)_x-\mu_1\bigl(\mu_2\bigr)_x}
{\bigl(\mu_2\bigr)^2}$    e $\displaystyle \qquad
F_y(x,y)=\frac{\mu_2\bigl(\mu_1\bigr)_y-\mu_1\bigl(\mu_2\bigr)_y}
{\bigl(\mu_2\bigr)^2} \ .
$

Portanto, para provar (4), basta verificar que

$\displaystyle \left(\mu_2\frac{\partial \mu_1}{\partial x}-
\mu_1\frac{\partial...
...al \mu_1}{\partial y}-
\mu_1\frac{\partial \mu_2}{\partial y}\right)y'(x)=0 \ .$ (5)

Mas $ y(x)$ é solução de (1), ou seja,

$\displaystyle M(x,y(x))+N(x,y(x))\,y'(x)=0
$

e, portanto,

$\displaystyle y'(x)=-\frac{M(x,y(x))}{N(x,y(x))} \ .$ (6)

Substituindo (6) em (5), precisamos mostrar que

$\displaystyle \left(\mu_2\frac{\partial \mu_1}{\partial x}-
\mu_1\frac{\partial...
...mu_1}{\partial y}-
\mu_1\frac{\partial \mu_2}{\partial y}\right)M(x,y(x))=0 \ .$ (7)

Ainda não usamos o fato que $ \mu_1(x,y)$ e $ \mu_2(x,y)$ são fatores integrantes de (1). Vamos fazer isto agora. Como $ \mu_1(x,y)$ é fator integrante de (1), segue que

$\displaystyle M(x,y)\,\mu_1(x,y)\,dx+N(x,y)\,\mu_1(x,y)\,dy=0 
$

é exata. Logo

$\displaystyle \frac{\partial}{\partial y}\Bigl(M(x,y)\,\mu_1(x,y)\Bigr)=
\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(N(x,y)\,\mu_1(x,y)\Bigr)
$

e, portanto,

$\displaystyle M(x,y)\,\frac{\partial \mu_1}{\partial y}(x,y)+
\mu_1(x,y)\,\frac...
...ial \mu_1}{\partial x}(x,y)+
\mu_1(x,y)\,\frac{\partial N}{\partial x}(x,y) \ .$ (8)

Analogamente, como $ \mu_2(x,y)$ fator integrante de (1), temos que

$\displaystyle M(x,y)\,\frac{\partial \mu_2}{\partial y}(x,y)+
\mu_2(x,y)\,\frac...
...ial \mu_2}{\partial x}(x,y)+
\mu_2(x,y)\,\frac{\partial N}{\partial x}(x,y) \ .$ (9)

Multiplicando (8) por $ \mu_2$, (9) por $ \mu_1$ e subtraindo uma da outra, obtemos

$\displaystyle \left(\mu_2\,\frac{\partial \mu_1}{\partial y}-\mu_1\,\frac{\part...
...l \mu_1}{\partial x}-\mu_1\,\frac{\partial
\mu_2}{\partial x}\right)N(x,y) \ ,
$

mostrando que a igualdade (7) se cumpre. Logo o teorema fica provado.


Exemplo 1. No exercício 1, da lista 3, foi pedido para encontrar para a equação diferencial

$\displaystyle (1+e^x)\,y-(x+e^x)\,y'=0$ (10)

dois fatores integrantes, um dependendo só de $ x$ e outro dependendo só de $ y$. Foram encontrados os fatores integrantes $ \,\mu_1(x,y)=(x+e^x)^{-2}$ e $ \mu_2(x,y)=y^{-2}\,$. A solução geral da equação diferencial (10) pode ser encontrada utilizando qualquer um destes fatores integrantes, como foi feito na lista 3, mas agora, podemos também aplicar o Teorema 1, que acaba de ser demonstrado, para concluir que que a solução geral da equação (10) é

$\displaystyle \frac{(x+e^x)^{-2}}{y^{-2}}=C \ .
$

Esta expressão pode ser reescrita, isolando $ y$, como

$\displaystyle y=C^{\,-\frac{1}{2}}\bigl(x+e^x\bigr) \ .
$

Mas $ \,C^{\,-\frac{1}{2}}\,$ é simplesmente uma constante arbitrária, por isto em lugar desta expressão podemos escrever apenas $ C$, que o significado é o mesmo. Logo a solução geral de (10) é

$\displaystyle y=C\bigl(x+e^x\bigr) \ .$ (11)



Observação. Se

$\displaystyle F(x,y)=C$ (12)

é a solução geral de uma certa equação diferencial ordinária de primeira ordem, então para qualquer função de uma variável $ f(t)$, que não seja constante em nenhum intervalo, a expressão

$\displaystyle f(F(x,y))=C$ (13)

também é solução geral da mesma equação diferencial.

Justificativa. É muito simples justificar a observação acima. De fato, se (12) é a solução geral de uma certa equação diferencial, é porque as soluções da equação diferencial são as funções cujos gráficos são as curvas de nível da função $ F(x,y)$. Mas as funções $ F(x,y)$ e $ f(F(x,y))$ têm exatamente as mesmas curvas de nível. Por exemplo, ao longo dos pontos de uma curva de nível de $ F(x,y)$, esta assume sempre um mesmo valor, digamos $ \,F(x,y)=A\,$. Mas então ao longo desta mesma curva a função $ f(F(x,y))$ também é constante: $ f(F(x,y))=f(A)$. Num exemplo concreto, para $ F(x,y)=x^2+y^2$ e $ f(t)=\ln t$, a circunferência unitária é uma curva de nível de $ F(x,y)=x^2+y^2$, correspondendo ao valor 1 da função, mas esta mesma circunferência unitária também é curva de nível de $ f(F(x,y))=\ln\bigl(x^2+y^2\bigr)$, correpondento ao valor 0 desta função.

Aplicação da Observação. Se $ F(x,y)=C$ é solução geral de uma dada equação diferencial, então para qualquer função de uma variável $ f(t)$, que não seja constante em nenhum intervalo, a expressão $ f(F(x,y))=C$ tamém é solução geral da mesma equação diferencial. Este fato já foi usado implicitamente no Exemplo 1. A solução geral de (10) era $ F(x,y)=C$, com

$\displaystyle F(x,y)=\frac{(x+e^x)^{-2}}{y^{-2}} \ .
$

Tomando $ f(t)=t^{-\frac{1}{2}}$, temos

$\displaystyle f(F(x,y))=\frac{y}{x+e^x} \ .
$

A solução geral de (10) pode então ser reescrita como

$\displaystyle \frac{y}{x+e^x}=C \ ,
$

que é exatamente a expressão (11) obtida anteriormente.

Estamos agora em condições de enunciar e demonstrar o seguinte teorema, que é uma espécie de recíproca do Teorema 1.

Teorema 2. Seja $ \mu_2(x,y)$ um fator integrante para a equação diferencial (1) e seja

$\displaystyle F(x,y)=C$

a solução geral de
(1). Então para qualquer $ f(t)$, função de uma variável, que não seja constante em nenhum intervalo, $ \mu_1(x,y)$, definido por

$\displaystyle \mu_1(x,y)=\mu_2(x,y)\,f(F(x,y)) \ ,
$

também é um fator integrante para a equação diferencial
(1).

Demonstração: Seja $ \mu_2(x,y)$ um fator integrante para a equação diferencial (1). Logo a equação diferencial

$\displaystyle M(x,y)\,\mu_2(x,y)\,dx+N(x,y)\,\mu_2(x,y)\,dy=0
$

é exata. Isto significa que existe uma função $ \Phi(x,y)$ tal que
$\displaystyle \frac{\partial \Phi}{\partial x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle M(x,y)\,\mu_2(x,y)$ (14)
$\displaystyle \frac{\partial \Phi}{\partial y}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle N(x,y)\,\mu_2(x,y) \rule{0.cm}{0.7cm}$ (15)

Seja $ \,F(x,y)=C\,$ a solução geral de (1) e seja $ f(t)$ uma função de uma variável que não seja constante em nenhum intervalo. Conforme a observação acima e sua aplicação, pondo

$\displaystyle G(x,y)=f(F(x,y)) \ ,
$

a expressão $ \,G(x,y)=C\,$ também representa a solução geral de (1). Como vimos em (4), qualquer solução $ y(x)$ de (1) satisfaz

$\displaystyle G_x(x,y(x))+G_y(x,y(x))\,y'(x)=0 \ ,
$

ou seja,

$\displaystyle y'(x)=-\frac{G_x(x,y(x))}{G_y(x,y(x))} \ .
$

Comparando esta última expressão com

$\displaystyle y'(x)=-\frac{M(x,y(x))}{N(x,y(x))} \ ,
$

que segue imediatamente de (1), e levando em conta que todo ponto $ (x,y)$ é da forma $ (x,y(x))$ para alguma solução $ y(x)$ de (1), obtem-se

$\displaystyle \frac{G_x(x,y)}{G_y(x,y)}=\frac{M(x,y)}{N(x,y)} \ .
$

Temos

$\displaystyle N\,G_x=M\,G_y
$

e, multiplicando os dois lados por $ \mu_2$ e, usando (14) e (15), obtemos

$\displaystyle \Phi_y\,G_x=\Phi_x\,G_y \ .$ (16)

Mas precisamos provar que $ \,\mu_1(x,y)\,$, definido por

$\displaystyle \mu_1(x,y)=\mu_2(x,y)\,G(x,y) \ ,
$

também é um fator integrante para a equação diferencial (1). Tudo o que precisamos mostrar é que a equação diferencial (1) multiplicada por $ \mu_1(x,y)$, ou seja,

$\displaystyle M(x,y)\,\mu_1(x,y)\,dx+N(x,y)\,\mu_1(x,y)\,dy=0 \ ,$ (17)

é exata. Mas

$\displaystyle \Bigl(N\,\mu_1\Bigr)_x=\Bigl(N\,\mu_2\,G\Bigr)_x=\Bigl(\Phi_y\,G\Bigr)_x=
\Phi_y\,G_x+\Phi_{xy}\,G \ .$ (18)

Analogamente,

$\displaystyle \Bigl(M\,\mu_1\Bigr)_y=\Bigl(M\,\mu_2\,G\Bigr)_y=\Bigl(\Phi_x\,G\Bigr)_y=
\Phi_y\,G_y+\Phi_{xy}\,G \ .$ (19)

De (17) e (18) segue que

$\displaystyle \Bigl(N\,\mu_1\Bigr)_x=\Bigl(M\,\mu_1\Bigr)_y \ .
$

Esta última igualdade mostra que (17) é exata em qualquer retângulo (ou, melhor ainda, em qualquer região simplesmente conexa) em que seus coeficientes estejam definidos, provando o teorema.

Existência de Fatores Integrantes. Quanto à primeira questão, realmente, toda equação diferencial ordinária de primeira ordem possui fatores integrantes, embora seja mais difícil dar uma demonstação rigorosa deste fato, do que foi para a segunda questão. Em princípio teríamos aí um método universal para resolver qualquer EDO de primeira ordem. Mas na prática as coisas estão muito longe de funcionarem desta maneira, pois, a não ser para certos tipos particulares de equações, é muito difícil encontrar uma fator integrante. Abaixo, fazemos uma digressão de interesse teórico. Vamos justificar que, depois de resolver a equação diferencial (1), se tormarmos sua solução em forma implícita

$\displaystyle F(x,y)=C$ (20)

podemos, a postriori, conhecer um fator integrante que teria permitido resolver a equação. O mérito deste raciocínio é mostrar que de fato (1) possui fatores integrantes. Derivando (20) em relação a $ x$, temos

$\displaystyle F_x(x,y(x))+F_y(x,y(x))\,y'(x)=0 \ .
$

Daí segue que

$\displaystyle y'(x)=-\frac{F_x(x,y(x))}{F_y(x,y(x))} \ .
$

Substituindo em (1) obtém-se

$\displaystyle M(x,y)-\frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}\,N(x,y)=0 \ ,
$

Ou ainda,

$\displaystyle \frac{F_x(x,y)}{M(x,y)}=\frac{F_y(x,y)}{N(x,y)} \ .
$

Chamando de $ \mu(x,y)$ a este valor comum, temos

$\displaystyle \mu(x,y)=\frac{F_x(x,y)}{M(x,y)}=\frac{F_y(x,y)}{N(x,y)} \ .
$

Portanto
  $\displaystyle \mu(x,y)\,M(x,y)=F_x(x,y)$ (21)
  $\displaystyle \mu(x,y)\,N(x,y)=F_y(x,y) \rule{0.cm}{0.5cm}$ (22)

Segue que $ \mu(x,y)$ é um fator integrante para (1), pois multiplicando (1) por $ \mu(x,y)$, obtemos

$\displaystyle \mu(x,y)\,M(x,y)\,dx+\mu(x,y)\,N(x,y)\,dy=0 \ ,
$

que, utilizando (21) e (22), pode ser reescrita como

$\displaystyle F_x(x,y)\,dx+F_y(x,y)\,dy=0 \ .
$

Esta última é obviamente exata.

Exemplo 2. Na lista 3, exercício 10, foi pedido para resolver a equação diferencial

$\displaystyle y'=\frac{2\,x}{x+y} \ .$ (23)

A idéia era observar que (18) é uma equação homogênea e usar o método de resolução estudado, que consiste em, através de uma mudança de variáveis, transformar a equação homogênea em uma equação separável. A resposta encontrada foi

$\displaystyle \vert 2\,x+y\vert\,\vert x-y\vert^2=C \ .
$

Permitindo que $ C$ assuma também valores negativos, a solução geral pode ser rescrita como

$\displaystyle (2\,x+y)\,(x-y)^2=C \ .
$

Reescrevendo (18) na forma

$\displaystyle 2\,x\,dx-(x+y)\,dy=0$ (24)

temos, com a notação do parágrafo anterior,

$\displaystyle M(x,y)=2\,x \qquad , \qquad N(x,y)=-(x+y)$    e $\displaystyle \qquad
F(x,y)=(2\,x+y)\,(x-y)^2 \ .
$

Fazendo os cáculos, encontramos

$\displaystyle \frac{F_x(x,y)}{M(x,y)}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{2\,(x-y)^2+2\,(2\,x+y)\,(x-y)}{2\,x}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{(x-y)\Bigl((x-y)+(2\,x+y)\Bigr)}{x}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 3\,(x-y) \ . \rule{0.cm}{0.6cm}$  

Conforme o parágrafo anterior, encontraríamos o mesmo resultado calculando
$\displaystyle \frac{F_y(x,y)}{N(x,y)}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{(x-y)^2-2\,(2\,x+y)\,(x-y)}{-(x+y)}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{(x-y)\Bigl((x-y)-2\,(2\,x+y)\Bigr)}{-(x+y)}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 3\,(x-y) \ . \rule{0.cm}{0.6cm}$  

Como vimos no parágrafo anterior, o valor comum

$\displaystyle \mu(x,y)=3\,(x-y) 
$

é um fator integrante para a equação diferencial (19) (note que (19), e não (18), foi objeto de nossos cálculos). Se tivéssemos sabido disto antes de resolvermos a equação diferencial, poderíamos ter multiplicado (19) por $ \mu(x,y)=3\,(x-y)$ e obtido

$\displaystyle 6\,x\,(x-y)\,dx-3\,(x+y)(x-y)\,dy=0 \ ,
$

que é exata. Devemos procurar uma função $ G(x,y)$ tal que
$\displaystyle \frac{\partial G}{\partial x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 6\,x\,(x-y)=6\,x^2-6\,x\,y$ (25)
$\displaystyle \frac{\partial G}{\partial y}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -3\,(x+y)(x-y)=3\,y^2-3\,x^2 \rule{0.cm}{0.8cm}$ (26)

De (20) segue que $ G(x,y)$ é da forma

$\displaystyle G(x,y)=2\,x^3-3\,x^2\,y+\varphi(y) \ ,$ (27)

para uma certa função $ \varphi(y)$ dependendo só de $ y$. Derivando (22) em relação a $ y$, temos

$\displaystyle \frac{\partial G}{\partial y}=-3\,x^2+\varphi'(y) \ .$ (28)

Comparando (21) com (23), concluímos que

$\displaystyle \varphi'(y)=3\,y^2 \ .
$

Logo, uma possibilidade é $ \,\varphi(y)=y^3\,$ e, portanto,

$\displaystyle G(x,y)=2\,x^3-3\,x^2\,y+y^3 \ .
$

Segue que a solução geral de nossa equação diferencial (18) é

$\displaystyle 2\,x^3-3\,x^2\,y+y^3=C \ .
$



Em resumo, toda equação diferencial ordinária de primeira ordem possui fatores integrantes, na verdade uma infinidade deles, das mais diversas formas. Se $ \mu_2(x,y)$ for um fator integrante e $ F(x,y)=C$ for a solução geral em forma implícita, então qualquer expressão da forma

$\displaystyle \mu_1(x,y)=\mu_2(x,y)\,f(F(x,y))$ (29)

também é um fator integrante, onde $ f(t)$ é uma função de uma variável qualquer, sujeita à única restrição de que seja diferenciável e que não seja constante em nenhum invervalo. Apesar desta abundância de fatores integrantes, na prática é muito difícil encontrá-los. É fácil procurá-los de uma forma especial, por exemplo, dependendo só de uma das variáveis, ou da forma $ \mu(x,y)=x^a\,y^b$, ou ainda do tipo $ \mu(x,y)=
\varphi(x^2+y^2)$. O problema é que de antemão não sabemos se vai existir um fator integrante de uma destas formas. No exemplo 2, para a equação diferencial (23), temos o fator integrante $ \,\mu_2(x,y)=3\,(x-y)\,$ e a solução geral $ \,(2\,x+y)\,(x-y)^2=C\,$. Tomando em (29) $ f(t)$ como sendo, sucessivamente, $ \,t/3\,$, $ \,1/(3\,t)\,$ e $ \,\ln t\,$, encontramos os seguintes fatores integrantes para a mesma equação diferencial (23):

$\displaystyle (2\,x+y)\,(x-y)^3
\ , \qquad
\frac{1}{(2\,x+y)\,(x-y)}$ ,$\displaystyle \qquad
3\,(x-y)\bigl(\ln(2\,x+y)+2\ln(x-y)\bigr) \ .
$



Eduardo H. M. Brietzke