1. Topologia do
.
Espaços métricos. Espaços normados. Espaços com produto interno. Normas equivalentes. Norma de uma transformação linear. Conjuntos abertos, fechados, compactos e conexos. Teorema de Heine—Borel. Continuidade.
2. Funções e Aplicações Diferenciáveis .
2.1 — Derivadas parciais e direcionais. Diferenciabilidade . Derivada como uma transformação linear. Regra da Cadeia.
2.2 — Desigualdade do Valor Médio e suas conseqüências.
2.3 — Integrais dependentes de um parâmetro. Fórmula de Leibniz.
2.4 — Derivadas de ordem mais alta. Teorema de Schwarz.
2.5 — Fórmula de Taylor. Pontos Críticos.
2.6 — Funções convexas em e
aplicações.
2.7 — Teorema da Função Inversa. Teorema da Função Implícita. Dependência funcional. Multiplicadores de Lagrange.
2.8 — Subvariedades de . Teorema do Posto.
3. Integrais de Linha em .
3.1 — Caminhos diferenciáveis. Caminhos retificáveis.
3.2 — Integral de Riemann-Stieltjes.
3.3— Integral de uma 1-forma ao longo de um caminho. Independência do caminho.
4. Integrais Múltiplas em .
4.1 — Integral de Riemann.
4.2 — Medida zero e conteúdo zero.
4.3 — Critério de Daboux e Critério de Lebesgue.
4.4 — Integrais Iteradas.
4.5 — Mudança de variáveis. Volume da Bola
em .
5. Integrais de Superfície.
5.1 — Parametrização de superfícies. Superfícies orientáveis. Área de uma superfície.
5.2 — Integrais de superfície.
5.3 — Teorema da Divergência. Identidades de Green. Unicidade do problema de Dirichlet e Neumann. Equação de continuidade na Mecânica de Fluidos. Aplicação do Teorema da Divergência ao cálculo do laplaciano em coordenadas esféricas e outras coordenadas ortogonais.
5.4 — Teorema de Green. Teorema de Stokes. Interpretação do rotacional de um campo de vetores como densidade de circulação.
6. Noções sobre a Integração de Formas Diferenciais Exteriores e Fórmula de Stokes.
6.1 — Formas diferencias exteriores. Produto exterior. Derivada exterior.
6.2 — Teorema de Poincaré.
6.3 — Subvariedades orientáveis. Bordo. Fórmula de Stokes.
6.4 — Os Teoremas clássicos como casos particulares da fórmula geral de Stokes.
BIBLIOGRAFIA
Como referências básicas para a disciplina são indicados os livros
- Lima, E. L. — Curso de Análise, volume 2. Projeto Euclides. Impa.
- Courant, R. & John, F. — Introduction to Calculus and Analysis, vol. 2. Wiley International Editions.
- Bernard, D. — Techniques d’Analyse Mathématique. Masson et Cie, Paris.
Como bibliografia adicional são indicados os livros
- Apostol, T. M. — Calculus, vol. 2, second edition. Wiley.
- Spivak, M. — Calculus on Manifolds. Benjamin, New York.
- Budak, B. M. & Fomin, S. V. — Multiple Integrals, Field Theory and Series. Mir Publishers, Moscow.
- Bartle, R. — The Elements of Real Analysis, second edition. Wiley.
- Fleming, W. H. — Functions of Several Variables. Addison-Wesley.
- Burkill, J. C. & Burkill H. — A Second Course in Mathematical Analysis. Cambridge University Press, Cambridge.
- Loomis, L. & Sternberg, S. — Advanced Calculus. Addison-Wesley.