EQUAÇÃO DE BESSEL MODIFICADA




No exemplo sobre a flambagem de uma coluna vertical, consideramos uma certa equação diferencial, que foi resolvida pelo método das séries de potências. Depois de resolvido o problema, observamos que a solução que podia ser expressa através de modificações das funções de Bessel. Motivados por esse exemplo, vamos agora investigar qual é a classe das equações diferenciais cuja solução geral é combinação linear de

$\displaystyle x^\alpha\,Z_p\bigl(k\,x^\beta\bigr) \ , $

onde $ Z_p$ indica $ J_p$ e $ J_{-p}$ (ou $ Y_p$ se $ p$ não for inteiro).

Estamos interessados em encontrar soluções

$\displaystyle y=y(x)=x^a\,w(k\,x^b) \ , $

onde $ w$ é uma função de Bessel de índice $ p$. Em outras palavras, se $ w=w(z)$ é uma solução da equação de Bessel

$\displaystyle z^2\,\frac{d^2w}{dz^2}+z\,\frac{dw}{dz}+(z^2-p^2)\,z=0 \ , $

vamos fazer a substituição de variáveis

$\displaystyle w=x^{-a}\,y \qquad , \qquad z=k\,x^b \ . $

Pela regra da cadeia,

$\displaystyle \frac{dw}{dz}=\frac{dw}{dx}\cdot\frac{dx}{dz}= \frac{\;\displayst... ...laystyle-a\,x^{-a-1}y+x^{-a}\,\frac{dy}{dx}} {k\,b\,x^{b-1}\rule{0.cm}{0.4cm}} $

ou seja

$\displaystyle \frac{dw}{dz}=-\frac{a}{k\,b}\,x^{-a-b}y+ \frac{1}{k\,b}\,x^{1-a-b}\,\frac{dy}{dx} \ . $

Derivamdo mais uma vez

$\displaystyle \frac{d^2w}{dz^2}=\frac{d}{dx}\left(-\frac{a}{k\,b}\,x^{-a-b}y+ \frac{1}{k\,b}\,x^{1-a-b}\,\frac{dy}{dx} \right)\left/\frac{dz}{dx}\right. $

$\displaystyle =\frac{1}{k\,b}\left(a(a+b)x^{1-a-b}y-a\,x^{-a-b}\,\frac{dy}{dx}+... ...{1-a-b}\,\frac{d^2y}{dx^2}\right) \left/k\,b\,x^{b-1}\rule{0.cm}{0.7cm}\right. $

$\displaystyle =\frac{1}{k^2\,b^2}\biggl[a(a+b)x^{-a-2\,b}+ (1-2\,a-b)\,x^{1-a-2\,b}\,\frac{dy}{dx}+ x^{2-a-2\,b}\,\frac{d^2y}{dx^2}\biggr] \ . $

Obtemos daí as expressões

$\displaystyle z\,\frac{dw}{dz}=-\frac{a}{b}\,x^{-a}\,y+ \frac{1}{b}\,x^{1-a-2\,b}\,\frac{dy}{dx} $

e

$\displaystyle z^2\,\frac{d^2w}{dz^2}=\frac{1}{b^2}\biggl[a(a+b)x^{-a}+ (1-2\,a-b)\,x^{1-a}\,\frac{dy}{dx}+ x^{2-a}\,\frac{d^2y}{dx^2}\biggr] \ . $

Substituindo na equação de Bessel e multiplicando por $ b^2$ obtemos

$\displaystyle x^2\,\frac{d^2y}{dx^2}+(1-2\,a)\,x\,\frac{dy}{dx}+\bigl( a^2-b^2\,p^2+b^2\,k^2\,x^{2\,b}\bigr)y=0 \ . $



CONCLUSÃO: As soluções da equação de Bessel modificada

$\displaystyle x^2\,\frac{d^2y}{dx^2}+(1-2\,a)\,x\,\frac{dy}{dx}+\bigl( a^2-b^2\,p^2+b^2\,k^2\,x^{2\,b}\bigr)y=0 \ . $

são

$\displaystyle y=x^a\,Z_p\bigl(k\,x^b\bigr) \ , $

onde $ Z_p$são as soluções da equação de Bessel de índice $ p$.



EXEMPLO DE APLICAÇÃO: Resolver o problema valor de fronteira

\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{l} y''+\gamma^2\,x\,y=0 \\ y'(0)=0 \ , \quad y(L)=0 \ \rule{0.cm}{0.6cm}. \end{array}\right. \end{displaymath}

já considerado no exemplo sobre a flambagem de uma coluna vertical.



SOLUÇÃO:

Multiplicando a equação por $ x^2$ temos

$\displaystyle x^2\,y''+\gamma^2\,x^3\,y=0 \ . $

Neste caso temos

$\displaystyle 1-2\,a=0 \ , \qquad a^2-b^2\,p^2=0 \ , \qquad b^2\,k^2=\gamma^2$    e $\displaystyle \qquad 2\,b=3 \ . $

Logo

$\displaystyle a=\frac{1}{2} \ , \qquad b=\frac{3}{2} \ , \qquad p=\frac{1}{3}$    e $\displaystyle \qquad k=\frac{2}{3}\,\gamma \ . $

Segue que a solução geral da equação é

$ y=C_1\,x^\frac{1}{2}\,J_{\frac{1}{3}}\bigl(\frac{2}{3}\,\gamma\, x^\frac{3}{2}... ...x^\frac{1}{2}\,J_{-\frac{1}{3}}\bigl( \frac{2}{3}\,\gamma\,x^\frac{3}{2}\bigr) $  .


A função $ J_{\frac{1}{3}}(t)$ tem um desenvolvimento da forma

$\displaystyle J_{\frac{1}{3}}(t)=t^\frac{1}{3}\Bigl(c_0+c_1t^2+\cdots\Bigr) \ , \qquad c_n\neq 0 \ . $

Segue que

$ x^\frac{1}{2}\,J_{\frac{1}{3}}\bigl(\frac{2}{3}\,\gamma\, x^\frac{3}{2}\bigr)=x\Bigl(c_0+c_1x^3+\cdots\Bigr) \ , \qquad c_n\neq 0 \ , $


onde as constantes $ c_n$ não são as mesmas da linha anterior. Analogamente

$ J_{-\frac{1}{3}}(t)=t^{-\frac{1}{3}}\Bigl(c_0+c_1t^2+\cdots\Bigr) $


e vale um desenvolvimento da forma

$ x^\frac{1}{2}\,J_{-\frac{1}{3}}\bigl(\frac{2}{3}\,\gamma\, x^\frac{3}{2}\bigr)=c_0+c_1x^3+\cdots \ , $

para certas constantes $ c_n\neq 0\,$. Segue que ambas as funções $ \,x^\frac{1}{2}\,J_{\frac{1}{3}}\bigl(\frac{2}{3}\, \gamma\,x^\frac{3}{2}\bigr)\,$ e $ \,x^\frac{1}{2}\,J_{-\frac{1}{3}} \bigl(\frac{2}{3}\,\gamma\,x^\frac{3}{2}\bigr)\,$ são analíticas no ponto $ \,x=0\,$ e que a derivada da primeira é não nula neste ponto enquanto que a da segunda se anula. Assim, para que se cumpra a condição de fronteira $ \,y'(0)=0\,$, devemos ter $ \,C_1=0\,$, ou seja,

$ y=C\,x^\frac{1}{2}\,J_{-\frac{1}{3}}\bigl( \frac{2}{3}\,\gamma\,x^\frac{3}{2}\bigr) \ . $
Eduardo H. M. Brietzke