conceitos, métodos, terminologia, notação, valores e motivações de antigamente poucas vezes são iguais aos atuais

Com efeito:
o sistema de numeração usado pelos romanos era bastante diferente do que HOJE chamamos de sistema romano e que ainda é usado em relógios, capítulos de livros, datas de copyright, nomes de reis e papas e etc. O moderno sistema romano é resultado de uma longa evolução do sistema usado pelos antigos romanos, tendo tomando a forma atual a partir do Renascimento.

O sistema de numeração dos antigos romanos tinha várias diferenças com o atual sistema romano que aprendemos no ensino primário: vários algarismos eram diferentes, os romanos raramente usavam o princípio subtrativo e, acima de tudo, não tinham regras fixas para escrever os numerais.

No que segue, passaremos a provar e elaborar as afirmações acima. Para evitar confusões, usaremos a seguinte terminologia não usual:

• sistema romano-romano: sistema de numeração usado pelos antigos romanos
• sistema romano-medieval: o "romano" usado durante a Idade Média
• sistema romano-moderno: o "romano" que atualmente aprendemos na escola e usamos ou encontramos em algumas situações

• uma parte inicial, o presente texto, em que nos concentraremos no sistema romano-ROMANO e no romano-MEDIEVAL
• uma segunda parte em que trataremos da origem e evolução do sistema romano-MODERNO, desde os dois sistemas romanos anteriores até os dias atuais; essa segunda parte V. acessa clickando em qualquer uma das setas de retorno, abaixo.

Acima, fizemos um destaque da parte mais interessante da Columna Rostrata: o trecho onde os romanos inscreveram a justaposição de 23 cópias do algarismo  ( ( ( I ) ) ) , que era o algarismo dos antigos romanos para representar 100 000 . Note que isso foi feito de um modo totalmente diferente do que aprendemos na escola.
( NOTA DOCUMENTAL: conforme V. pode ver na foto, a lápide está quebrada e tudo o que podemos dizer -- através de uma cuidadosa medição e reconstituição da mesma -- é que o numeral originalmente representado era alguma coisa entre 2 300 000 e 3 500 000, correspondentes ao uso de respectivamente 23 e 35 justaposições do algarismo das centena milia ).

São raros os documentos romanos mais antigos que a Columna Rostrata; tanto pela ação das intempéries como pelo fato de que, nos primeiros tempos da República Romana, o latim era usado praticamente apenas em Roma, sendo que no restante dos domínios romanos usava-se o grego colonial, o etrusco e outros dialetos antigos. À medida que o poder romano aumentou, como seria de se esperar, também aumentou a quantidade de registros epigráficos; contudo, muitos deles pereceram com as invasões bárbaras.

Apesar disso tudo, temos muitos documentos posteriores à Columna Rostrata comprovando a diferença entre o sistema romano-romano e o romano-moderno: lápides de sepulturas, inscrições de números de identificação em edifícios residenciais ou públicos, etiquetas de vários tipos, etc. Essa constatação pode ser facilmente feita através do exame do Corpus Inscriptionum Latinarum, uma coleção de mais de 40 000 inscrições registradas por especialistas em história da Roma Antiga.

Esse exame facilmente mostra que existem muitas diferenças entre o sistema dos antigos romanos e o usado atualmente. Essas diferenças são tanto do aspecto de algarismos como nas regras usadas para a escritura dos numerais. Uma rápida amostra das diferenças exibidas pelo Corpus Inscriptionum Latinarum é a tabela abaixo, confeccionada a partir de anotações do historiador David Smith:

Note que, a partir de 500, os seus algarismos eram totalmente distintos dos que hoje empregamos no sistema romano-moderno. Observe, em particular, que eles não usavam M para 1000 e seu 500 não era a letra D, era apenas parecido com essa letra.

Outra enorme fonte de numerais escritos pelos antigos romanos são as milhares de lápides de sepulturas encontradas por boa parte da Europa. Embora raramente trazendo elementos que possam ser usados para descobrirmos a data da feitura dessas lápides, elas traziam vários numerais. A figura abaixo mostra uma cópia do texto de um lápide típica:

Como era de praxe entre os romanos, o texto contém inúmeras abreviações, mas as mesmas são bastante standard e isso torna fácil entender o que está inscrito. Com efeito: RVFVS SITA = Rufus Sita ( nome da pessoa sepultada; note que os antigos romanos nao tinham nem a letra U nem a J ); EQVES = eques = soldado de cavalaria; CHO.VIIII.TRACVM = ( serviu na ) nona coorte de thracianos; ANN.XL = ( morto com ) 40 anos; STIP IIXX = stipendium IIXX = recebeu salário durante 18 anos; H F C = heres faciendum curavit = sepultura construída pelo herdeiro; H S E = hic situs est = aqui repousa.

Observe o uso das formas VIIII e IIXX, para 9 e 18, que seriam consideradas totalmente absurdas no sistema romano-moderno, ou seja:

note que NÃO estamos nos limitando a exibir curiosidades para entreter alunos desmotivados, tais como meras diferenças caligráficas com o sistema romano que aprendemos na escola. Acima de tudo, estamos tratando de diferenças estruturais entre sistemas de numeração !

Com o término do Império Romano, o Mundo Cristão lentamente iniciou a se desenvolver ao longo da Idade Média. A destruição e caos trazidos pelas invasões bárbaras e vikings afetou duramente os estudos na Europa, a qual viveu vários séculos de profunda ignorância e generalizado analfabetismo. Foi somente com a criação do sistema de ensino de Carlos Magno sec IX e, principalmente, com o Renascimento Científico sec XII, que a escrita e as atividades matemáticas voltaram à luz do dia.

Entre os poucos conhecimentos do Mundo Greco-romano que sobreviveram às invasões estavam o sistema romano e as técnicas de cálculo com o ábaco romano. Contudo, a ignorância e o isolamento fizeram com o sistema romano passasse a ter um número incontável de variantes: deturpações caligráficas dos algarismos tradicionais dos romanos, introdução de novos símbolos para os algarismos e uma enorme variedade nas regras de escritura dos numerais, resultando no que estamos chamando de sistema romano-medieval.

A figura ao lado foi tirada de um livro de aritmética já do final do sec. XVI, O misticismo dos números de Bongo c. 1 585, existente na coleção de raridades de David Smith. Observe que embora, nesta figura, a maioria dos algarismos sejam os do sistema romano-romano, o modo de escrever os numerais nem sempre seria reconhecível por um romano.

Contudo, com o surgimento da imprensa, houve uma rápida padronização que nos levou ao atual sistema de numeração romano, o que aqui estamos chamando de sistema romano-moderno. No próximo texto, trataremos disso com mais detalhe.

EXERCICIO:
Na Columna Rostrata, além do numeral já discutido acima, aparece um outro. Ele está na linha 13 e é escrito como: ( I ) ( I ) ( I )I )CC.
Pede-se dar seu valor.

Se a variedade da escritura dos algarismos entre os romanos era grande, na Idade Média a situação ficou ainda mais caótica e seria impróprio querermos apontar um conjunto de algarismos que representasse o sistema romano-medieval: além dos símbolos romanos, usavam letras minúsculas e vários símbolos somente encontrados no período medieval.

Contudo, como já foi observado acima, o surgimento da imprensa provocou uma rápida padronização que nos levou ao atual sistema de numeração romano, o que aqui estamos chamando de sistema romano-moderno.

EXERCICIO
Entre os primeiros livros impressos era bastante comum encontrarmos numerais escritos no estilo romano-romano. Que explicacao poderia V. pensar para tal fato? Teria algo a ver com o espirito do Renascimento?
Essa prática chegou a ir ao século XVII, um exemplo sendo o muito famoso livro de R. Descartes: Discours de la méthode, o qual em sua página de rosto traz a data de publicação como  ( I ) I )CXXXVII, que pede-se escrever no sistema indo-arábico.

EXERCICIO
Talvez V. tenha atinado perguntar: mas, uma boa fonte de numerais romanos-romanos não seriam os ábacos romanos?
Bem, muito poucos dos ábacos romanos chegaram aos nossos dias. Ademais, não era costume romano escrever o valor das "casas" numéricas em seus ábacos. O ábaco da figura abaixo é uma importante exceção. Usando a tabela de David Smith, mostrada acima, pede-se identificar os algarismos inscritos no mesmo.

EXERCICIO
Na parte final da Idade Média tornou-se bastante popular representar numerais romanos através das letras minúsculas: i, v, x, etc, sendo que em final de numerais tendia-se a escrever j em vez de i. Assim, pede-se para transcrever para o sistema indo-arábico os seguintes numerais escritos entre os anos 1 100 e 1600:

dclxiiij
Cxxxiiij ( note o C maiúsculo; não existiam regras fixas! )
IIIIxxviii ( é ainda mais irregular! V. pode ver que indica 88? )

O Coliseum de Roma:

nos dá a prova mais conhecida do raro e confuso uso do Princípio Subtrativo pelos antigos romanos.
Todo turista que visita Roma, não deixa de ir ao mais famoso edíficio da Antiga Roma: o Coliseum, terminado c. 80 dC e palco dos espetáculos de circo e gladiadores. Naquela época, para dar rápido acesso e saída a um público de até cerca de 50 000 pessoas, cada uma delas recebia uma ficha que indicava por qual portão ela devia adentrar. Dos 80 portôes originais, sobraram apenas 33 e eles estão enumerados como: XXIII, XXIIII, etc, XXVIIII, etc, XXXIII, XXXIIII, etc, XL, XLI, etc, XLIIII, etc até LV.
Observe como "na prática, a teoria pode ser outra": compare o numeral do portão 44, na foto abaixo, com o do 34! Também, não deixe de observar que o numeral da entrada 29 mostra que o uso da subtração IX não era uma unanimidade.

Essas divergências com o que aprendemos na escola sempre surpreendem os turistas e já vimos manifestação pública, via carta a jornal, de um deles dizendo que se sentia ludibriado por seus professores (  ... when I visited Rome and was walking through the Colosseum and saw that the portals were numbered XXXXII, XXXXI, XXXX, and then XXXVIIII. I remembered staring at it, thinking that this was not the way I was taught in the 5th grade, and I took a picture of the portal with its number... ). Ora, como estamos insistindo, uma coisa é o sistema romano-romano e outra é o romano-moderno.


Outras provas documentais:

Os mais diversos tipos de documentos podem ser usados para provar o uso, bastante diferente do nosso, do Princípio Subtrativo pelos antigos romanos. Um exemplo podem ser as inúmeras lápides de túmulos romanos, conforme já mencionamos em item anterior; a maioria dos respectivos numerais seguem a tabela dada acima.

É ainda maior a quantidade de documentos da Idade Média e que trazem numerais romanos escritos com o Princípio Subtrativo. Também esses documentos mostram uma grande irregularidade na aplicação desse princípio. Um exemplo é uma placa de mármore colocada numa das torres mandadas construir pelo Papa Alexandre VI c. 1 500 dC, nela foi inscrito:

como era comum desde os antigos romanos, a inscrição contém muitas abreviações mas é fácil ver que a mesma refere-se ao ano 1 495; note que, além de não usar nenhum tipo de subtração, são usadas repetições de quatro algarismos, o que hoje seria uma imperdoável violação das regras ensinadas na escola! ( agradeço a Paul Lewis por este exemplo )

Uma especulação clássica:

É bastante comum as pessoas se indagarem a razão de os antigos romanos tenderem a escrever IX mas evitarem usar IV. Uma possível explicação seria que IV era a abreviação, que já observamos serem muito usadas, de IVPITER, o principal deus romano e que hoje escrevemos como Júpiter. Evitá-la corresponderia a "não usar o santo nome do Senhor em vão".

tentando resumir:

EXERCICIO:
Escreva 24 e 44 no sistema romano-moderno e compare com o modo usado pelos romanos nos arcos dos portões do Coliseum.

EXERCICIO:
No que toca ao sistema romano-romano:

• escreva as três maneiras que podiam usar para escrever 19.
• quantas e quais seriam as maneiras de escrever 18 ?

• explicar por que um romano antigo diria que "os idos ocorrem nove dias depois das nonas".
• escrever 9 de julho no sistema romano-romano
• idem para 20 de março

• ante diem V idvs avgvstvs
• ante diem IIII nonas martivs
• pridie kalendas aprilis ( aqui precisamos dar mais uma informação: o dia anterior às calendas, nonas e idos era chamado de pridie e, então, sua denominação fugia do esquema explicado acima )

• dizer que ano os romanos indicavam por I
  ( recorde o que foi dito acima sobre o modo de contar dos antigos romanos )
• explicar por que DCCLIIII corresponde a 1 dC
• explicar por que 2 001 dC seria MMDCCLIIII

• escreveria o grande poeta Horacius que nasceu: VI Id. Dec. A.V.C. DCLXXXVIIII = sexto die ante Idus Decembris ab urbe condita DCLXXXVIIII
• o famoso imperador Augustus nasceu em: VIIII KAL. OCT. A.V.C. DCLXXXXI M. TULLIO CICERONE C. ANTONIO COSS = nono [die ante] Kalendas Octobris anno urbis conditae sescentensimo nonagensimo primo, Marco Tullio Cicerone Gaio Antonio consulibus.
  NOTA: a parte final dessa "datação" mostra um costume comum entre os romanos: mencionar o nome dos cônsules governando no ano; no caso de Augustus: Cícero e Gaius Antonius.

EXERCICIO:
Os primeiros relógios de ponteiro surgiram em plena Idade Média. Por exemplo, o mais antigo relógio de ponteiro ainda existente é o da catedral de Somerset, Inglaterra, que foi construído em 1 392. Tendo em vista isso, pergunta-se:

• o mais tradicional seria usar algarismos indo-arábicos ou romanos para indicar as horas nos relógios de ponteiro?
• ainda sob o ponto de vista da tradição, além da quarta hora, que outra hora é importante observar? Isso tem algo a ver com a Regra da Preferência?
• Entre relógios mais recentes, tanto famosos como o Big Ben de Londres como não famosos, ainda se observa a Regra da Preferência?

• conte a quantidade de vezes que aparece cada algarismo na sequência romano-romano de horas: I II III IIII V VI VII VIII IX X XI XII
• idem para a sequência romano-moderna: I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII
• explique por que a sequência romano-romano permitiria fabricar os algarismos usando um único molde com um X, um V e cinco I. Qual o número de moldes necessários na sequência romano-moderno?

      _          _         _         _           _           _
      V = 5000 , X=10000 , L=50000 , C=100 000 , D=500 000 , M=1000000
          _                     ___
          XMMCXXV = 12 125  e   XIICXXV = 12 125.

para indicar 20 400. Contudo, isso não ocorre em outros autores romanos e tudo indica que esses vinculum tenham sido "enxertados" por copistas medievais.

Como consequência desse impasse, até recentemente acreditava-se que os antigos romanos nunca teriam usado o vinculum. Contudo, Georges Ifrah, ao examinar mais detalhadamente o Corpus Inscriptionum Latinarum, descobriu algumas inscrições com uso inequívoco de vinculum, como é o caso da inscr. 1 757 do vol. I do Corpus:

Na Idade Média o vinculum passou a se chamar titulus e, além do uso clássico na separação entre numerais e palavras, passou a ser usado no sentido estritamente numérico, embora raramente.

Assim que o uso do vinculum para indicar milhares é uma prática que tornou-se comum e normatizada apenas no sistema romano-MODERNO. Ademais, é exclusividade do sistema romano-moderno o uso de dois ou mais vínculos sobre um mesmo algarismo ou parte de numeral.

uso do enquadramento:

Tudo indica que os antigos romanos preferiram usar o enquadramento ao vinculum. O enquadramento surgiu na época imperial de Roma, consistia em envolver os algarismos por um retângulo sem base e com isso denotar que a parte envolvida ficava multiplicada por 100 000. O exame do Corpus Inscriptionum Latinarum mostra que seu emprego não deve ter sido comum, mas um exemplo é 13 x 100 000 escrito como:

 _______
|  XIII | 

Georges Ifrah descobriu um texto do escritor romano Suetônio, referente à biografia do Imperador Galba, que muito bem documenta o uso romano do vinculum e do enquadramento, bem como as confusões que isso podia provocar. Com efeito, Suetônio conta que a mãe do Imperador Tibério escreveu em seu testamento que deixava a seu outro filho, Galba, uma importância que era denotada por CCCCC encimado pelo que não se podia ter certeza se era um vinculum ou um enquadramento. Como V. deve estar suspeitando, Tibério questionou se devia pagar 500 x 1 000 sestércios ou os 500 x 100 000 sestércios que exigia Galba. Como a primeira interpretação era a favorável a Tibério, foi essa a quantia que o juiz mandou pagar a Galba ...

uso de notação multiplicativa:

Acima, já mostramos um exemplo, e ele melhor do que palavras explica a idéia da multiplicação: IIIIxxviii significa 4 x 20 + 8 = 88.

Qualquer estudioso de sistemas de numeração sabe que a tendência de todo sistema aditivo, como o romano, é de se transformar num sistema multiplicativo. Contudo, no caso dos romanos, isso provavelmente nunca chegou a ocorrer. É bem verdade que encontramos nas obras de Plinius, c. 50 dC, o uso de XIIM para indicar 12 000. Contudo, certamente isso não deve ser visto como um numeral e sim como a abreviação de "XII mille". Ademais, trata-se de um caso isolado e não podemos ter certeza de que esse XIIM não tenha sido introduzido por um copista medieval das obras de Plinius.

Assim, pode-se afirmar com razoável certeza que foi somente na Idade Média que se começa a usar a notação multiplicativa. David Smith nos relata vários exemplos desse uso:

IIII^ormilia.ccc^al.vi para 4 356, em um livro de c. 1300
IIIM para 3 000, num livro de um tal de Noviomagnus c. 1 550
vj.C para 600, pelo famoso Robert Recorde c. 1 550

Contudo, a notação multiplicativa mais popular parece ter sido a usada na muito difundida Aritmética de Sacrobosco, de c. 1450 e um dos livros mais estudados na Idade Média. A notação de Sacrobosco é de difícil realização no computador, mas era parecida com

para denotar 100 000 000, sendo que outros autores da época também escreviam o coeficiente multiplicador embaixo do multiplicando.

Como seria de se esperar, essas notações complicadas foram sabotadas pelos primeiros impressores e acabaram por desaparecer. Disso tudo acabou sobrevivendo, no sistema romano-moderno, apenas o vinculum, o emprego do qual foi normatizado no início do século XX.
Na segunda parte dessa matéria, abordaremos sistemáticamente as regras do sistema romano-moderno e, em particular, o emprego moderno do vinculum.

o sistema romano permitia que um abacista fizesse multiplicações e divisões muito mais fácil e rapidamente do que hoje somos capazes de fazer.

• D. E. Smith: History of Mathematics,
  Dover, NY, 1 953
• Karl Menninger: Zahlwort und Ziffer, 2nd ed. Vandenhoeck, Gottingen 1958
• R. Bombelli: Dell'antica numerazionne italica. Roma, 1 876.
• Georges Ifrah: História Universal dos Números, 2 vols. Editora Nova Fronteira, Rio de Janeiro 1 997
• Giacardi Livia & Roero Clara S.:L'origine della numerazione romana: un'ipotesi di Giuseppe Nicasi sul modo di contare dei contadini di Morra; con una nota di M. Raffaella Trabalza,
  Foligno: Edizioni dell'Arquata, 109 pages, 1987. Series: Centro studi "Cristiano Mancini" per la storia del pensiero matematico; 1.
• Friedlein Gottfried: Die Zahlzeichen und das elementare Rechnen der Griechen und Romer und des christlichen Abendlandes vom 7. bis 13. Jahrhundert,
  Erlangen, 1869.
• Arch Hist Ex. Sci. 15 (1981)
• Kennedy, James G.:Arithmetic with Roman numerals,
  Am. Math. MONTHLY, vol 88, pp 29-32 (1981).
• Detlefsen M., Erlandson D. K., Heston J. C., Young. C. M.: "Computation with Roman Numerals"
  AHES, vol 15, no 2, pp 141-148, 1976.
• Jose Augusto Sanchez Perez: La aritmetica en Roma, en India y en Arabia,
  Madrid, Granada, 263 pages, 1949.
• Taisbak Christian Marinus: Roman Numerals and the Abacus,
  Classica et Mediaevalia, Vol. 26, 1965. Journal of philology and history on Graeco- Roman Antiquity and the Middle Ages. ISSN 0106-5815.