Todas as soluções estão incluídas?




Para resolver uma equação diferencial ordinária linear homogênea de 2 $ ^{\underline{\rm a}}$ ordem

$\displaystyle y''+P(x)\,y'+Q(x)\,y=0 \ ,$ (1)

nosso procedimento usual tem sido o de, em primeiro lugar, encontrar duas soluções linearmente independentes $ y_1$ e $ y_2$. A seguir, utilizando o Princípio da Superposição, temos que as combinações lineares

$\displaystyle y=C_1y_1+C_2y_2$ (2)

são soluções da EDO (1). Finalmente, argumentamos que, como a expressão (2) já envolve duas constantes arbitrárias, (2) é a solução geral de (1).

O procedimento descrito acima pode ser justificado rigorosamente, mas a justificativa para o fato de que a expressão (2) contém todas as soluções da EDO (1) envolve certos detalhes que estão em um nível acima do presente curso. O aluno que tenta entender o assunto, freqüentemente fica ainda em dúvida se não poderiam existir outras soluções além daquelas dadas por (2).

Apesar de que, para manter o nível deste curso, não podermos convencer o aluno com uma demonstração para o caso geral da equação (1), é perfeitamente possível dar uma demonstração simples e elementar para o caso particular das equações lineares homogêneas com coeficientes constantes, que cobre, por exemplo, as oscilações livres em um sistema massa-mola, ou em um circuito $ R$-$ L$-$ C$. Comecemos com uma exemplo.

Exempo 1. Consideremos a EDO

$\displaystyle y''-4\,y'+3\,y=0 \ .$ (3)

Sabemos que, para $ \lambda$ raiz da equação característica $ \,\lambda^2-4\,\lambda+3=0$, a exponencial $ y=e^{\lambda\,x}$ é solução da EDO (3). Esta equação característica tem duas raízes, $ \,\lambda_1=1\,$ e $ \,\lambda_2=3\,$. Segue que $ y_1=e^x$ e $ y_2=e^{3\,x}$ são duas soluções linearmente independentes de (3). Pelo Princípio da Superposição,

$\displaystyle y=C_1e^x+C_2e^{3\,x}$ (4)

é uma família de soluções de (3). Vamos agora provar que qualquer solução da EDO (3) está contida em (4). De fato, seja $ y$ uma solução qualquer da EDO (3). Seja

$\displaystyle u=e^{-x}y \ . $

Substituindo $ \,y=e^xu\,$ em (3), obtém-se

$\displaystyle \bigl(u''+2\,u'+u\bigr)e^x-4\bigl(u'+u\bigr)e^x+ 3\,u\,e^x=0 \ , $

ou seja,

$\displaystyle u''-2\,u'=0 \ , $

ou ainda,

$\displaystyle \bigl(u'-2\,u\bigr)'=0 \ . $

Segue daí que

$\displaystyle u'-2\,u=C_1 \ . $

Multiplicando esta última equação por $ e^{-2\,x}$, obtém-se

$\displaystyle e^{-2\,x}u'-2\,e^{-2\,x}u=C_1\,e^{-2\,x} \ , $

isto é,

$\displaystyle \bigl(e^{-2\,x}u\bigr)'=C_1\,e^{-2\,x} \ . $

Segue que

$\displaystyle e^{-2\,x}u=C_1\!\int\!e^{-2\,x}\,dx= -\frac{1}{2}\,C_1\,e^{-2\,x}+C_2 \ . $

Como $ C_1$ é uma constante arbitrária, podemos escrever $ C_1$ em lugar de $ -\frac{1}{2}C_1$, que o significado é o mesmo. Assim,

$\displaystyle u=C_1+C_2\,e^{2\,x} \ . $

Como $ \,y=e^x\,u\,$, obtemos, finalmente,

$\displaystyle y=C_1\,e^x+C_2\,e^{3\,x} \ . $

Ficou então provado que toda solução $ y$ da EDO (3) faz parte da família (4).

O raciocínio acima pode ser empregado para qualquer EDO linear de coeficientes constantes.

Caso Genérico. Consideremos a EDO

$\displaystyle y''+a\,y'+b\,y=0 \ .$ (5)

Suponhamos que a equação característica tenha duas raízes diferentes, reais ou complexas,

$\displaystyle \lambda_1=\frac{-1+\sqrt{a^2-4\,b}}{2}$    e $\displaystyle \qquad \lambda_2=\frac{-1-\sqrt{a^2-4\,b}}{2} \ , $

onde $ \,a^2-4\,b\neq0\,$. Seja

$\displaystyle u=e^{-\lambda_1\,x}y \ .$ (6)

Substituindo $ y=e^{\lambda_1\,x}u$ na EDO (5), obtém-se, como no Exemplo 1,

$\displaystyle \bigl(u''+2\,\lambda_1\,u'+u\bigr)+a\bigl(u'+\lambda_1\,u\bigr) +b\,u=0 \ , $

ou seja,

$\displaystyle u''+\bigl(2\,\lambda_1+a\bigr)u'+ \bigl(\lambda_1^2+a\,\lambda_1+b\bigr)u=0 $

Como $ \lambda_1$ é uma raiz da equação característica, o coeficiente de $ u$ na equação acima é 0,

$\displaystyle u''+\bigl(2\,\lambda_1+a\bigr)u'=0 \ .$ (7)

Também

$\displaystyle \lambda_1+\lambda_2=-a \ , $

de modo que (7) nos diz que

$\displaystyle \Bigl(u'+\bigl(\lambda_1-\lambda_2\bigr)u\Bigr)'=0 \ ,$ (8)

ou seja,

$\displaystyle u'+\bigl(\lambda_1-\lambda_2\bigr)u=C_1 \ . $

Multiplicando estaequação por $ e^{(\lambda_1-\lambda_2)x}$, obtém-se

$\displaystyle e^{(\lambda_1-\lambda_2)x}u'+\bigl(\lambda_1-\lambda_2\bigr) e^{(\lambda_1-\lambda_2)x}u=C_1\,e^{(\lambda_1-\lambda_2)x} \ , $

isto é,

$\displaystyle \Bigl(e^{(\lambda_1-\lambda_2)x}u\Bigr)'= C_1\,e^{(\lambda_1-\lambda_2)x} \ . $

Segue daí que

$\displaystyle e^{(\lambda_1-\lambda_2)x}u=C_1\, \frac{e^{(\lambda_1-\lambda_2)x}}{\lambda_1-\lambda_2}+C_2 \ . $

Como $ C_1$ é uma constante arbitrária, podemos dizer, de forma equivalente, que

$\displaystyle u=C_1+C_2\,e^{(\lambda_2-\lambda_1)x} \ . $

Finalmente, substituindo em (6), temos que toda solução de (5) é da forma

$\displaystyle y=C_1\,e^{\lambda_1\,x}+C_2\,e^{\lambda_2\,x} \ . $



Caso de Raiz Dupla. Para completar o argumento, falta ainda considerar o caso em que a equação característica da EDO (1) tem raiz real dupla $ \,\lambda_1=\lambda_2$. O argumento é igual ao do caso considerado acima, exceto que agora (8) se reduz a $ \,u''=0\,$. Logo $ \,u'=C_1\,$ e $ \,u=C_1\,x+C_2\,$. Portanto qualquer solução de (1) é da forma $ \,y=C_1\,e^{\lambda_1\,x}+C_2\,x\,e^{\lambda_1\,x}$.

Eduardo Brietzke