EXEMPLO - Equação de Euler com raízes complexas e apliacação a um problema de Dirichlet
Sabemos que, para resolver a Equação de Cauchy-Euler
(1)
devemos começar procurando uma solução da forma . Substituindo em (1) vemos que deve ser raiz da equação algébrica
(2)
Suponhamos que (2) tenha raízes complexas . Com elas construímos duas soluções linearmente independentes de (1),eJá tínhamos trabalhado com exponenciais com expoente complexo, mas de base . É fácil dar um sentido às exponenciais acima, cuja base não é :
Analogamente obtemossenAs duas soluções e de (1) encontradas acima são linearmente independentes mas assumem valores complexos, o que pode ser um inconveniente para algumas aplicações. Por esta razão, vamos preferir as combinações lineares delassenque são linearmente independentes e reais.
Aplicação (exercício 9 da lista 11). Determine a temperatura estacionária em uma barra, cuja seção é
Precisamenete, temos o problema de Dirichlet:
um ``retângulo curvilíneo", com duas faces consistindo de arcos de círculo subintendendo um ângulo e centrados na origem, enquanto que as outras duas faces consistem de segmentos de raios do círculo maior. A face retilínea é mantida à temperatura constante , enquanto que as demais faces são mantidas à temperatura 0.
Resolvendo pelo método de separação de variáveis, começamos procurando da forma . Substituindo na equação diferencial, temosMultiplicando por e dividindo por , obtém-seFicamos, então, com duas equações diferenciais independentes:eA primeira é uma equação de Cauchy-Euler e a segunda é uma equação linear de coeficientes constantes. A condição de fronteira nos dá , pois caso contrário, teríamos , para todo , que corresponde à solução trivial . Analogamente as condições de fronteira e nos dão e . Passemos ao estudo do problema1 Caso:
Neste caso, , com . A equação algébrica tem duas raízes reais diferentes e . Logo a equação de Cauchy-Eulertem soluçãoAplicando as condições de fronteira, temosSegue daí que , poispois . Logo e a solução é trivial.
2 Caso:
Neste caso, a solução da equação de Euler é , pois a equação algébrica tem raiz dupla . As condições de fronteira nos dão . Este caso, portanto, também é trivial.
3 Caso:
Neste caso, , com . A equação algébrica tem duas raízes imaginárias e . Logo a equação de Cauchy-Eulertem soluçãosenAs condições de fronteira nos dãoSó teremos solução não trivial para nosso problema, se o sistema acima possuir solução não trivial para e , mas isto só acontece se seu determinante for nulo, isto é,ou sejasen sen senSegue que devemos terou seja,Encontramos assim as funções
sen (3)
Mas temos a condição , dizendo que
sen (4)
Em (3) acima, está expressa em termos de duas constantes e , mas, usando (4), podemos eliminar uma constante.Multiplicando (3) por sen, obtemos
sensen senUsando (4), segue quesensene, finalmente,
sen sen (5)
Analogamente, multiplicando (3) por , obtém-se
sen (6)
Como e sen não podem ser ambos nulos, segue de (5) e (6) que existe uma constante (igual a sen ou a ) tal quesenO valor de que corresponde a éPondo este valor de na outra equação, obtemoscuja solução éUsando a condição de fronteira , obtemos e, daí,senhO terceiro caso nos dá, portanto,sen senhFazendo a superposição dos termos encontrados, obtemossen senhFinalmente, usando a condição , temossen senh para todoObservemos que a expansão acima não é uma série de Fourier (na variável ), mas se converte em uma série de Fourier pela mudança de variávelDe fato, quando varia no intervalo , vamos ter esenhsenque é uma expansão em série de senos no intervalo , para a função constante. Segue quesenhsenFinalmente, obtemos a resposta
Eduardo H. M. Brietzke